フォントネーの定理

幾何学において、フォントネーの定理（フォントネーのていり、英: Fontené theorems, Fontene's theorems）は、九点円と垂足円に関する3つの定理の総称である[1][2]。Fontenéはフォンテネとも書かれる[3]。

歴史

フォントネーの定理の名称は、1905,1906年にフランスの数学者、ジョルジュ・フォントネーが発見したことに由来する。しかし第二、第三定理については、1880年にヴェイユ（Weill）[4]、1889年にウィリアム・S・マッケイ（William S. M'Cay）[5]に独自に発見されている[6][7]。また、第二定理は1857年にジョン・グリフィス（英語版）が独自に発見している[6]。

第一フォントネーの定理

第一フォントネーの定理

△ ABCと点Pについて、その中点三角形を△A'B'C'、Pの垂足三角形を△XYZとする。また、YZとB'C' 、ZXとC'A' 、XYとA'B' の交点をそれぞれD,E,Fとすると、DX,EY,FZは九点円上で交わる[8][9]。これを第一フォントネーの定理（First Fontené's theorem）と言う[6]。

第二フォントネーの定理

第二フォントネーの定理

外心を通る直線l上の点の垂足円は、九点円上の定点を通る[10]。これを第二フォントネーの定理（Second Fontené's theorem）と言う。グリフィスの定理とも呼ばれる。また、この定点はlに対するグリフィス点（the Griffiths point）と呼ばれる。グリフィス点は、l上の点の等角共役点の軌跡である外接円錐双曲線の中心と一致する[11]。九点円と垂足円のもう一方の交点は、元の点とA,B,C（と垂心）を通る直角双曲線の中心である[12]。

第三フォントネーの定理

第三フォントネーの定理

三角形と点Pについて、Pの等角共役点をP*とする。PとP*と外心が同一直線上にあることと、Pの垂足円と九点円が接することは同値である[13][14]。これを、第三フォントネーの定理（Third Fontené's theorem）と言う。マッケイ-ウェイユの定理とも言われる[15]。接点はフォントネー点（Fontené point）と呼ばれる[11]。フォイエルバッハの定理とフォイエルバッハ点はこの定理の特別な場合である。また、PとP*と外心が共線であるようなPの軌跡はマッケイ三次曲線である。

出典

  1. ^ Bocau Marius. “On Fontene's Theorems” (英語). Docslib. 2024年6月3日閲覧。
  2. ^ “Fontene theorems and some corollaries Linh Nguyen Van 30/04/2010” (英語). studylib.net. 2024年8月29日閲覧。
  3. ^ Eugène Rouché、Charles de Comberousse 著、小倉金之助 訳『初等幾何學 第1卷 平面之部 訂正4版』山海堂出版部、1919年、631頁。NDLJP:1082035。 
  4. ^ Weill (1880). Note sur le triangle inscrit et circonscrit à deux coniques. Nouvelles Annales de Mathématiques. pp. 253-261. http://www.numdam.org/article/NAM_1880_2_19__253_1.pdf 
  5. ^ M'Cay, W. S. (1889). “On Three Similar Figures, with an Extension of Feuerbach's Theorem”. The Transactions of the Royal Irish Academy 29: 303–320. ISSN 0790-8113. https://www.jstor.org/stable/30078818?searchText=au:%22W.%20S.%20M'Cay%22&searchUri=/action/doBasicSearch?Query=au%253A%2522W.+S.+M%2527Cay%2522&so=rel&ab_segments=0/basic_phrase_search/control&refreqid=fastly-default:b650a511de2d65ac4ebcba576442d8be. 
  6. ^ a b c Roger A. Johnson. “Modern geometry; an elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle” (英語). HathiTrust. 2024年5月16日閲覧。
  7. ^ 窪田忠彦『初等幾何学特選問題』1932、1932年、99,101,103頁。NDLJP:1211458。 
  8. ^ G. Fontene (1905). Surles points de contact du cercle des neuf points d’un triangle avec les cercles tangents aux trois côtés. Nouvelles Annales de Mathématiques. pp. 529-538. http://www.numdam.org/article/NAM_1905_4_5__529_0.pdf 
  9. ^ Bricard, R. (1906). “Note au sujet de l'article précédent”. Nouvelles Annales de Mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale 6: 59–61. ISSN 1764-7908. https://eudml.org/doc/102131. 
  10. ^ G. Fontene (1906). Sur le cercle pédal. Nouvelles annales de mathématiques. pp. 508-509. http://www.numdam.org/item/NAM_1906_4_6__508_0.pdf 
  11. ^ a b Roger C. Alperin. “Pedals of the Poncelet Pencil and Fontene Points”. Forum Geometricorum. 2024年4月20日閲覧。
  12. ^ Neville, E. H. (1944). “1709. Notes on Conics. 10: Fontené's Theorem”. The Mathematical Gazette 28 (279): 56–58. doi:10.2307/3606361. ISSN 0025-5572. https://www.jstor.org/stable/3606361. 
  13. ^ G. Fontene (1905). Extension du théorème de Feuerbach. Nouvelles annales de mathématiques. pp. 544-506. http://www.numdam.org/item/NAM_1905_4_5__504_1.pdf 
  14. ^ Coolidge, Julian Lowell (1916). A Treatise On The Circle And The Sphere. Osmania University, Digital Library Of India. Oxford At The Clarendon Press.. http://archive.org/details/treatiseonthecir033247mbp 
  15. ^ 窪田忠彦『近世幾何学』岩波書店、1947年、27頁。doi:10.11501/1063410。 

関連項目

外部リンク