等角共役

幾何学において、等角共役（とうかくきょうやく、英:isogonal conjugate,isogonal conjugation）は、三角形 $△ ABC$ と点 $P$ について、 $A, B, C$ の角の二等分線で、直線 $PA, PB, PC$ を鏡映した線の交点 $P*$ のこと、または $P$ と $P*$ の関係である。

$A, B, C$ の角の二等分線で、直線 $PA, PB, PC$ を鏡映した線（等角共役線、isogonal lines）が一点で交わることはチェバの定理の逆で示すことができる^[1]。 $P$ に対して、 $P*$ を等角共役、または等角共役点と言う。 $P*$ の等角共役点は $P$ である。

例

内心と傍心の等角共役点はその点自身である。
垂心 $H$ の等角共役点は外心 $O$ である。
重心 $G$ の等角共役点は類似重心 $K$ である（類似重心の定義）。
フェルマー点の等角共役点は等力点である。
2つのブロカール点は互いに等角共役である。

性質

三線座標系で、 $X=x:y:z$ とする。ただし $X$ は頂点でないとする。 $X$ の等角共役点は ${\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}$ である。故に、 $X$ の等角共役点は $X -1$ で表されることもある。三角形の中心の集合 $S$ で三線座標の積（trilinear product）は以下の式で定義される。

(p:q:r)*(u:v:w)=pu:qv:rw,

したがって $S$ をアーベル群として見ると、 $X$ の逆元は $X -1$ である。

関数としての等角共役として、等角共役は直線や円にも適用できる。直線の等角共役は外接円錐曲線になる。直線が外接円とそれぞれ0,1,2点で交わるとき、その等角共役は楕円、放物線、双曲線となる^[2]。例えばブロカール軸、オイラー線の等角共役はそれぞれキーペルト双曲線、ジェラベク双曲線である。外接円の等角共役は無限遠直線である。

幾つかの有名な三次曲線（ノイベルグ三次曲線や17点3次曲線、McCay Cubic）は $X$ と $X -1$ がともに線上にある三次曲線（自己等角共役、self-isogonal-conjugate）である^[3]。

他の定義

$P$ を $BC, CA, AB$ で鏡映した点を $P a, P b, P c$ とする。円 $P a P b P c$ の中心は $P$ の等角共役点である^[4]。これは $P$ の垂足円の中心が、その等角共役点との中点となるためである。

一般化

2021年、ダオ・タイン・オアイ（Dao Thanh Oai）は、等角共役の一般化を示した^[5]。

$△ ABC$ と外接円錐曲線 $Ω$ 、そして点 $P$ について、 $AP,BP,CP$ と $Ω$ が再び交わる点をそれぞれ $A',B',C'$ とする。 $A',B',C'$ を通る $BC,CA,AB$ の平行線と $Ω$ の第二交点を $A",B",C"$ として、 $AA",BB",CC"$ は共点である。これをダオ共役（Dao conjugate）という^[6]。

$Ω$ の中心 $X$ と $P$ の重心座標をそれぞれ $x : y : z, p : q : r$ 、として $P$ のダオ共役点は、 $x(x-y-z)qr::$ と表される。

$X$ が外心で $Ω$ が外接円ならば等角共役、 $X$ が幾何中心で $Ω$ がシュタイナー楕円ならば等長共役、 $X$ がX(1249)ならばpolar conjugateである^[5]。

参考文献

^ “等角共役点とその証明”. 高校数学の美しい物語 (2021年3月7日). 2024年5月11日閲覧。
^ 齋藤輝. “等角共役とシムソン線の幾何学”. 角川ドワンゴ学園N/S高等学校研究部. 2024年5月12日閲覧。
^ “homepage”. Catalogue_of_Triangle_Cubics. Bernard Gibert. 2024年5月11日閲覧。
^ Steve Phelps. “Constructing Isogonal Conjugates”. GeoGebra. GeoGebra Team. 17 January 2022閲覧。
^ ^a ^b César Eliud Lozada, Preamble before X(44687)Encyclopedia of Triangle Centers
^ Clark Kimberling. “Encyclopedia of Triangle Centers”. 2024年10月20日閲覧。

外部リンク

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