Dal 2013 entra a far parte delle giovanili del Legia Varsavia. Ha esordito nella prima divisione polacca il 20 agosto 2016 all'età di 17 anni nella sconfitta casalinga per 3-1 contro l'Arka Gdynia[1]. La stagione successiva ha giocato più regolarmente nella stagione[2]. La stagione 2018/19 è stata quella della svolta in quanto è stato impiegato regolarmenente venendo utilizzato come trequartista, centrocampista destro o esterno sinistro[3]. Era tra gli undici titolari in 31 delle 34 presenze in campionato[4]. Con il Legia Varsavia, Szymański è stato campione di Polonia nel 2017 e 2018 e vincitore anche della Coppa di Polonia nel 2018.
Dinamo Mosca e prestito al Feyenoord
ll 31 maggio 2019, ha firmato un contratto quinquennale con la Dinamo Mosca, club della Premier League russa[5]. Ha fatto il suo debutto in campionato il 12 luglio 2019 nella vittoria casalinga per 2-0 contro l'Arsenal Tula[6]. È stato votato dai fan della Dynamo come "giocatore del mese" nell'ottobre 2019[7]. Il 9 novembre 2019, ha segnato il suo primo gol con la Dinamo, l'unico gol della partita nella vittoria per 1-0 contro il Rubin Kazan. È stata la prima vittoria in trasferta della Dinamo contro il Rubin in 13 anni[8][9]. Il 2 giugno 2021 ha firmato un nuovo contratto con la Dinamo per un periodo di cinque anni[10]. È stato votato giocatore del mese dai fan della Dinamo per luglio 2021[11] agosto 2021[12] e novembre 2021[13]. Il 22 luglio 2022, Szymański è stato ceduto in prestito al club olandese del Feyenoord per un anno con un'opzione di acquisto per il club[14]. Ha segnato il suo primo gol per il club il 27 agosto 2022, segnando il quarto gol nella vittoria per 4-0 del club contro l'Emmen[15].
Fenerbahçe
Il 12 luglio 2023 viene acquistato dal Fenerbahçe, con cui sigla un contratto quadriennale.[16][17]
Nazionale
Ha fatto tutta la trafila nelle nazionali giovanili polacche partecipando anche alla fase finale del Campionato Europeo Under 21 del 2020. Nel maggio 2018 è stato nominato nella lista preliminare di 35 uomini della Polonia per la Coppa del Mondo 2018 in Russia[18]. Tuttavia, non è stato scelto per far parte della lista definitiva[19]. Ha esordito con la nazionale polacca il 9 settembre 2019 nelle qualificazioni a Euro 2020 contro l'Austria, sostituendo Kamil Grosicki al 70º minuto[20]. Ha esordito dal primo minuto nella partita di qualificazione successiva il 10 ottobre 2019 contro la Lettonia e nel quale ha fornito un assist su uno dei gol nella quale la Polonia ha vinto 3-0 e si è assicurata un posto al torneo finale. Ha segnato il suo primo gol il 19 novembre 2019 nell'ultima partita del girone di qualificazione contro la Slovenia.
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