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Voce principale: Integrale di Riemann.

Siano ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ due funzioni continue definite in un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e siano ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$. Allora:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\Big (}\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$^[1][2]

Dalla definizione si ha che:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\Big (}\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}{\Big (}\alpha f(t_{i})+\beta g(t_{i}){\Big )}(x_{i+1}-x_{i}),}$

da cui:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\Big (}\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}{\Big (}\alpha \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\beta \sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}){\Big )}.}$

Dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\Big (}\alpha f(x)+\beta g(x){\Big )}dx=\alpha \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\beta \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}),}$

da cui discende la proprietà di linearità.

Sia ${\displaystyle f}$ continua e definita in un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e sia ${\displaystyle c\in [a,b]}$. Allora:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$

Dalla definizione si ha che

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}),}$

da cui se si ha ${\displaystyle c\in [a,b]}$ esiste, eventualmente affinando la partizione, un intero ${\displaystyle h}$ tale che ${\displaystyle 0\leq h\leq n}$ e ${\displaystyle x_{h}=c,}$ da cui risulti:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\left(\sum _{i=0}^{h-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\sum _{i=h}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right),}$

e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{h-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})+\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=h}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}),}$

da cui discende la proprietà di additività.

Siano ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ due funzioni continue definite in un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e tali che ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ in ${\displaystyle [a,b]}$. Allora:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Infatti se si ha che ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ nel compatto ${\displaystyle [a,b]}$, effettuando una partizione di tale compatto (ovviamente la disuguaglianza permane), per ogni ${\displaystyle i=0,\ldots ,n-1,}$ si ottiene:

${\displaystyle f(t_{i})\leq g(t_{i}),}$

da cui

${\displaystyle f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).}$

A questo punto, poiché la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto, vale:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).}$

Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata

${\displaystyle \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}g(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).}$

Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione integrabile in un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, allora si ha:

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx.}$

Essendo valida la relazione

${\displaystyle -|f(t_{i})|\leq f(t_{i})\leq |f(t_{i})|,}$

per ogni ${\displaystyle i=0,\ldots ,n-1,}$ di una partizione di ${\displaystyle [a,b]}$, è possibile moltiplicare ogni membro per il fattore ${\displaystyle (x_{i+1}-x_{i})}$

${\displaystyle -|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i})\leq f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq |f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i}),}$

e sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:

${\displaystyle -\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i})\leq \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i}).}$

Applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali:

${\displaystyle -\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i})\leq \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\leq \lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i})|(x_{i+1}-x_{i});}$

${\displaystyle -\int _{a}^{b}|f(x)|dx\leq \int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}|f(x)|dx.}$

Quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|dx,}$

la quale è proprio la proprietà del valore assoluto degli integrali.

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