Anello di Gorenstein
In matematica , in particolare in algebra commutativa , un anello di Gorenstein è un anello commutativo tale che la localizzazione in ogni ideale primo è un anello di Gorenstein locale.
Un anello di Gorenstein locale è un anello locale , commutativo, noetheriano R tale che la sua dimensione iniettiva come R -modulo è finita.
Il concetto di anello di Gorenstein è un caso particolare del più generale concetto di anello di Cohen-Macaulay .
Gli analoghi non commutativi degli anelli di Gorenstein di dimensione 0 sono detti anelli di Frobenius .
Definizioni equivalenti
Un anello locale , commutativo, noetheriano
(
R
,
m
,
k
)
{\displaystyle (R,m,k)}
dimensione di Krull
n
{\displaystyle n}
anello di Gorenstein locale di dimensione
n
{\displaystyle n}
se gode di una delle seguenti proprietà equivalenti:
R
{\displaystyle R}
dimensione iniettiva finita come
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
n
{\displaystyle n}
R
{\displaystyle R}
Ext
R
i
-->
(
k
,
R
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}
i
≠ ≠ -->
n
{\displaystyle i\neq n}
Ext
R
n
-->
(
k
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)}
k
{\displaystyle k}
Ext
R
i
-->
(
k
,
R
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}
i
>
n
{\displaystyle i>n}
Ext
R
i
-->
(
k
,
R
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}
i
<
n
{\displaystyle i<n}
Ext
R
n
-->
(
k
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)}
k
{\displaystyle k}
Caso non commutativo
Un anello R (non necessariamente commutativo ) è detto anello di Gorenstein se ha dimensione iniettiva finita sia come R -modulo sinistro che come R -modulo destro. Se R è un anello locale allora è detto anello di Gorenstein locale .
Esempi
Ogni anello locale regolare è di Gorenstein.
L'anello k [x ,y ,z ]/(x 2 , y 2 , xz , yz , z 2 –xy ) è un anello di Gorenstein 0-dimensionale.
Un anello locale commutativo noetheriano è di Gorenstein se e solo se il suo completamento è di Gorenstein.
Bibliografia
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(EN Commutative Ring Theory , Cambridge studies in advanced mathematics 8.
(FR Jean-Pierre Serre , Sur les modules projectifs
Voci correlate
Collegamenti esterni
