Sottogruppo di Frattini

In algebra, e più precisamente in teoria dei gruppi, il sottogruppo di Frattini $\Phi (G)$ di un gruppo $G$ è l'intersezione di $G$ e di tutti i sottogruppi propri massimali di $G.$ In particolare, secondo la definizione, se $G$ non ha sottogruppi propri massimali allora $\Phi (G)$ coincide con $G$ stesso. È simile al radicale di Jacobson che si incontra nella teoria degli anelli. Intuitivamente può essere pensato come il sottogruppo di "piccoli elementi", infatti è caratterizzato dall'essere l'insieme di tutti i "non generatori" di $G.$

Il suo nome deriva da Giovanni Frattini, che ne definì il concetto in un lavoro pubblicato nel 1885.

Proprietà

$\Phi (G)$ coincide con l'insieme di tutti i "non generatori" di $G$ ^[1]. (Un elemento $a\in G$ è un non generatore se può essere sempre rimosso da un insieme di generatori del gruppo senza che quest'ultimo perda tale qualità; cioè $a$ è tale che per ogni $X$ insieme generatore di $G,$ si ha che $X\setminus \{a\}$ è ancora un insieme generatore di G^[2].)
$\Phi (G)$ è sempre un sottogruppo caratteristico di $G;$ in particolare, è sempre un sottogruppo normale di $G$ ).
Se $G$ è un gruppo finito, allora $\Phi (G)$ è un gruppo nilpotente^[3].
Se $G$ è un p-gruppo, allora $\Phi (G)=G^{p}[G,G].$ Così il sottogruppo di Frattini, rispetto all'inclusione, è il più piccolo sottogruppo normale $N$ tale che il gruppo quoziente $G/N$ è un $p$ -gruppo abeliano elementare^[4], il che equivale a dire isomorfo alla somma diretta di gruppi ciclici di ordine $p.$ Inoltre, se il gruppo quoziente $G/\Phi (G)$ (chiamato anche il quoziente (o fattore) di Frattini di $G$ ) ha ordine $p^{k},$ allora $k$ è il più piccolo numero di generatori di $G$ (cioè la minima cardinalità per un insieme di generatori di $G$ ). In particolare, un p-gruppo finito è ciclico se e solo se il suo quoziente di Frattini è ciclico (di ordine $p$ ). Un $p$ -gruppo è un gruppo abeliano elementare se e solo se il suo sottogruppo di Frattini è il gruppo banale.

Esempio

Un esempio di gruppo con sottogruppo di Frattini non banale è un gruppo ciclico di ordine $p^{2},$ con $p$ numero primo. Se indichiamo con $G$ il gruppo ciclico e con $a$ un suo generatore, allora si ha $\Phi (G)=\left\langle a^{p}\right\rangle$ .

Note

^ «Enunciato» Archiviato il 15 giugno 2010 in Internet Archive. e «dimostrazione» Archiviato il 15 giugno 2010 in Internet Archive. da PlanetMath
^ «Non-generator» Archiviato il 20 giugno 2010 in Internet Archive. da PlanetMath.
^ «The Frattini subgroup of a finite group is nilpotent» Archiviato il 30 maggio 2009 in Internet Archive. da PlanetMath
^ Ovvero un gruppo abeliano (finito) i cui elementi abbiano tutti ordine uguale a un numero (primo) $p$ (ad eccezione, ovviamente, dell'unità). Vedi «Elementary abelian group» Archiviato il 20 giugno 2010 in Internet Archive. da PlanetMath

Voci correlate

Argomento di Frattini

Collegamenti esterni

(EN) Opere riguardanti Frattini subgroups, su Open Library, Internet Archive.
(EN) Eric W. Weisstein, Frattini Subgroup, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Frattini subgroup, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
(EN) Da PlanetMath:
- «Frattini subgroup» Archiviato il 15 giugno 2010 in Internet Archive. (definizioni alternative)
- «Frattini subset», su planetmath.org. URL consultato il 3 ottobre 2009 (archiviato dall'url originale il 15 giugno 2010).
- «The Frattini subgroup of a finite group is nilpotent» Archiviato il 30 maggio 2009 in Internet Archive. (dimostrazione)
(FR) Hailé Béréda, «Sur une classe de p-groupes» Annales de la Faculté des sciences de Toulouse, 5^ième série, Tome 4, N. 2, p 191-194

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