Il teorema di Cayley, dal nome del matematico britannico Arthur Cayley, è un teorema riguardante la teoria dei gruppi.

Il teorema asserisce che ogni gruppo è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo simmetrico. In altre parole, ogni gruppo può essere considerato come un particolare gruppo di permutazioni.

Sia ${\displaystyle G}$ un gruppo di cardinalità arbitraria (non necessariamente finita). Sia ${\displaystyle S(G)}$ il gruppo simmetrico di ${\displaystyle G}$ (vale a dire il gruppo delle permutazioni dell'insieme ${\displaystyle G}$). Il teorema di Cayley asserisce il fatto seguente:

In particolare, ogni gruppo finito ${\displaystyle G}$ è isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo simmetrico finito.

Il gruppo simmetrico su ${\displaystyle n}$ oggetti contiene una copia di ogni gruppo di ordine n.

Un isomorfismo può essere costruito come segue.

${\displaystyle T_{g}\colon G\to G}$ tale che ${\displaystyle T_{g}(x)=gx}$

cioè si moltiplica a sinistra per l'elemento ${\displaystyle g}$ di ${\displaystyle G}$. L'applicazione ${\displaystyle T_{g}}$ è una permutazione sugli elementi di ${\displaystyle G}$ e dunque risulta in ${\displaystyle S(G)}$. Per concludere basta definire l'applicazione:

${\displaystyle T\colon G\to S(G)}$

che associa ad ogni elemento ${\displaystyle g}$ di ${\displaystyle G}$ la corrispondente permutazione ${\displaystyle T_{g}}$.

È semplice mostrare come questa applicazione realizzi effettivamente un omomorfismo (risulta cruciale, per la dimostrazione, la proprietà associativa dell'operazione definita su ${\displaystyle G}$)

Questo omomorfismo, inoltre, risulta essere iniettivo, e quindi ${\displaystyle G}$ è isomorfo alla sua immagine ${\displaystyle T(G)}$.

In generale, la dimostrazione standard del teorema di Cayley non produce la rappresentazione di ${\displaystyle G}$ in un gruppo di permutazioni di ordine minimale.

Semplici esempi di questo si vedono prendendo ${\displaystyle G}$ coincidente proprio con un gruppo di permutazioni.

Ad esempio, si prenda ${\displaystyle G=S_{3}}$, cioè uguale al gruppo simmetrico su 3 oggetti (che ha ordine 3!=6). Utilizzando il procedimento dimostrativo del teorema si riesce a rappresentarlo come sottogruppo di ${\displaystyle S_{6}}$ (un gruppo il cui ordine è 6!=720).

Tuttavia, siccome ${\displaystyle S_{3}}$ è già di per sé un gruppo di permutazioni, una sua rappresentazione è quella su ${\displaystyle S_{3}}$ stesso, che, come già detto, ha solo ordine 6^[1]

La costruzione appena descritta può essere concretamente visualizzata su alcuni gruppi noti. Qui ${\displaystyle S_{n}}$ è il gruppo delle permutazioni dell'insieme ${\displaystyle \{0,\ldots ,n-1\}}$ e ogni permutazione è descritta come prodotto di cicli.

• Il gruppo ciclico ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}}$ è identificato ad un sottogruppo di ${\displaystyle S_{2}}$: l'elemento ${\displaystyle 0}$ corrisponde all'identità e l'elemento ${\displaystyle 1}$ alla permutazione ${\displaystyle (01).}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}}$ è identificato ad un sottogruppo di ${\displaystyle S_{3}}$: l'elemento ${\displaystyle 0}$ corrisponde all'identità, l'elemento ${\displaystyle 1}$ alla permutazione ${\displaystyle (123)}$ e l'elemento ${\displaystyle 2}$ alla permutazione ${\displaystyle (132).}$ L'uguaglianza ${\displaystyle 1+1=2}$ corrisponde a ${\displaystyle (123)(123)=(132).}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}=\{0,1,2,3\}}$ è identificato ad un sottogruppo di ${\displaystyle S_{4}}$: gli elementi corrispondono a ${\displaystyle e,}$ ${\displaystyle (1234),}$ ${\displaystyle (13)(24),}$ ${\displaystyle (1432).}$

Il teorema trova numerose applicazioni sia dal punto di vista pratico che teorico. Nella teoria dei grafi permette ad esempio di derivare numerose proprietà strutturali di grafi ed alberi.

• Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti, 2003, ISBN 88-359-5479-7.
• Walter Ledermann, Introduzione alla teoria dei gruppi finiti, collana collana Poliedro, Roma, Edizioni Cremonese, 1967, pp. 85-89, ISBN non esistente.

• Cayley, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Cayley's Group Theorem, su MathWorld, Wolfram Research.

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