Beyer est l'aîné d'une famille de six enfants. Comme tous ses frères et sœurs, il a joué au handball dans le club local et a même fait partie de la sélection du district de Francfort-sur-l'Oder. Sur le conseil de son père, il se consacra à l'athlétisme et devint l'un des meilleurs lanceurs de poids participant à quatre Jeux olympiques d'été malgré son absence en 1984 pour cause de boycott.
Aux Jeux olympiques de Moscou, sa sœur Gisela et son frère Hans-Georg participèrent également. Udo remporta le bronze au lancer du poids, Gisela termina quatrième au lancer du disque et Hans-Georg fut champion olympique en handball.
Il sortit en outre vainqueur de l'épreuve du poids disputée lors de la première coupe du monde des nations, en à Düsseldorf, avec un essai de 21,74 mètres constituant alors un nouveau record national [1].
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