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Ne doit pas être confondu avec la décomposition de Jordan.

La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Camille Jordan. Cette réduction est employée, en particulier en analyse pour la résolution d'équations différentielles ou pour déterminer le terme général de certaines suites récurrentes. On la nomme parfois jordanisation des endomorphismes.

Elle consiste à exprimer la matrice d'un endomorphisme dans une base, dite base de Jordan, où l'expression de l'endomorphisme est réduite. La réduction consiste à déterminer une décomposition de Dunford, c'est-à-dire à trouver un endomorphisme diagonalisable et un endomorphisme nilpotent tels que les deux commutent et que leur somme soit égale à l'endomorphisme initial puis, sur chaque sous-espace caractéristique, on effectue une réduction de Jordan. Cette dernière est un cas particulier de la décomposition de Frobenius dans le cadre spécifique d'un endomorphisme nilpotent.

Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E (sur un corps K) dont le polynôme minimal est scindé. u possède alors les propriétés suivantes :

• E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques de u. Le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λ est noté ici E_λ.
• La restriction de u à E_λ est la somme d'une homothétie de rapport λ et d'un endomorphisme nilpotent noté n_λ.

Ces résultats sont démontrés dans l'article « Décomposition de Dunford ».

• Pour chaque λ, il existe une base (e_λ,1, e_λ,2, … , e_{λ, pλ}) de E_λ telle que n_λ(e_λ,1) = 0 et pour j = 2, … , p_λ, n_λ(e_λ,j) est nul ou égal à e_λ,j–1.

Ce résultat est démontré dans l'article « Endomorphisme nilpotent ».

On appelle bloc de Jordan de paramètre ${\displaystyle \lambda }$ et d'échelon ${\displaystyle k}$, toute matrice (à coefficients dans le corps K) de la forme^[1] :

${\displaystyle J_{k}(\lambda )={\begin{pmatrix}\lambda &1&&&&\\&\lambda &1&&(0)&\\&&\ddots &\ddots &&\\&&&\ddots &\ddots &\\&(0)&&&\lambda &1\\&&&&&\lambda \\\end{pmatrix}}.}$

Cette matrice est nilpotente si et seulement si λ est nul.

On considère un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, de polynôme caractéristique scindé. Le théorème de Jordan-Hölder nous informe qu'il admet une représentation matricielle diagonale par blocs de la forme^[2] :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}J_{k_{1}}(\lambda _{1})&&&&\\&J_{k_{2}}(\lambda _{2})&&&\\&&\ddots &&\\&&&\ddots &\\&&&&J_{k_{r}}(\lambda _{r})\\\end{pmatrix}}}$

où les scalaires λ_i sont les valeurs propres de l'endomorphisme considéré.

Ainsi sur un corps algébriquement clos comme le corps ℂ, tout endomorphisme admet une décomposition de ce type.

Attention : il n'y a pas « a priori » un bloc de Jordan pour chaque valeur propre, plusieurs λ_i peuvent avoir la même valeur.

Prenons un endomorphisme u admettant une telle représentation. On étudie une valeur propre particulière λ de l'endomorphisme u. On regroupe les vecteurs associés aux blocs J_k(λ). Ils forment le sous-espace caractéristique E_λ. C'est un sous-espace stable sur lequel u – λId induit un endomorphisme nilpotent n_λ.

• La multiplicité algébrique de λ (multiplicité dans le polynôme caractéristique) est égale à la dimension de E_λ, ou encore à la somme des tailles des blocs J_k(λ).
• La multiplicité de λ dans le polynôme minimal est égale à l'indice de nilpotence de l'endomorphisme n_λ, ou encore à la taille du plus grand des blocs J_k(λ).
• La multiplicité géométrique de λ (dimension du sous-espace propre associé) est égale au nombre des blocs J_k(λ).

Sur un corps K algébriquement clos, deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont la même écriture en blocs de Jordan, à l'ordre près des blocs.

Si K n'est pas algébriquement clos, il suffit de considérer une extension L de K algébriquement close (l'existence étant garantie par le théorème de Steinitz). En effet, deux matrices sont semblables sur K si et seulement si elles sont semblables sur L, et donc on peut généraliser le paragraphe précédent.

Soient ${\displaystyle K}$ un corps, ${\displaystyle E}$ un ${\displaystyle K}$-espace vectoriel de dimension finie ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$ et ${\displaystyle f\in \mathrm {End} _{K}(E)}$ un endomorphisme ${\displaystyle K}$-linéaire de ${\displaystyle E}$. On suppose qu'il existe un entier ${\displaystyle d}$ tel que ${\displaystyle f}$ soit nilpotent d'échelon ${\displaystyle d}$. Pour tout entier ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, on note ${\displaystyle n_{k}=\dim \mathrm {Ker} f^{k}}$.

Le théorème de réduction de Frobenius affirme alors qu'il existe un entier ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ^{*}}$, des entiers strictement positifs ${\displaystyle (r_{j})_{1\leq j\leq m}}$ et des sous-espaces ${\displaystyle (E_{j})_{1\leq j\leq m}}$ tels que :

1. ${\displaystyle E=\bigoplus _{j=1}^{m}E_{j}}$ ;
2. pour tout ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$, le sous-espace ${\displaystyle E_{j}}$ est stable par ${\displaystyle f}$ ;
3. pour tout ${\displaystyle 1\leq j\leq m-1}$, ${\displaystyle r_{j}\geq r_{j+1}}$ ;
4. le sous-espace ${\displaystyle (E_{j},f_{|E_{j}})}$ est cyclique de polynôme minimal ${\displaystyle X^{r_{j}}}$.

On définit alors le tableau de Young de ${\displaystyle (E,f)}$ comme le tableau constitué de ${\displaystyle m}$ lignes alignées sur la gauche et tel que la ${\displaystyle j}$-ième ligne comporte ${\displaystyle r_{j}}$ cases.

On peut montrer que le nombre d'étoiles sur la colonne ${\displaystyle i}$ donne le nombre de blocs de Jordan de la réduction dont la taille est supérieure ou égale à ${\displaystyle i}$.

On peut également montrer que quel que soit l'entier ${\displaystyle 1\leq i\leq r_{1}}$, la hauteur de la colonne ${\displaystyle i}$ est donnée par la formule ${\displaystyle h_{i}=n_{i}-n_{i-1}}$. Noter à ce sujet que l'on a, pour tout ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$, ${\displaystyle n_{i}=\dim \mathrm {Ker} f^{i}=\sum _{k=1}^{m}\min(i,r_{k})}$.

Les tableaux de Young permettent par exemple d'obtenir les invariants de similitude d'une matrice donnée ${\displaystyle A}$ ou bien de connaître instantanément la réduction de Jordan de ${\displaystyle A^{n}}$. Pour ce faire, il suffit de mettre bouts à bouts les colonnes de ${\displaystyle 1}$ à ${\displaystyle n}$ du tableau de Young de ${\displaystyle A}$ puis de réitérer l'opération en concaténant les ${\displaystyle n}$ colonnes suivantes et ainsi de suite. Bien entendu, lorsqu'il ne reste plus suffisamment de colonnes, il suffit de considérer des colonnes vides.

L'opération inverse est envisageable mais est beaucoup plus délicate pour des entiers ${\displaystyle n\geq 3}$.

Un système d'équations différentielles linéaires en y peut se réduire à une équation différentielle matricielle d'ordre 1 : u' (t) = Au(t) et la condition initiale u (0) = u₀, où u(t) est un vecteur colonne contenant les dérivées successives de y. La résolution est alors explicite lorsque le système d'équations différentielles est à coefficients constants : u (t) = exp (tA) u₀. L'avantage de la forme normale de Jordan réside dans la facilité de calculs des puissances des matrices des blocs de Jordan. En effet, l'exponentielle d'un bloc de Jordan de taille p est

${\displaystyle \exp {(tJ_{\lambda })}=\exp {(t\lambda )}{\begin{pmatrix}1&t&{\frac {t^{2}}{2}}&\cdots &{\frac {t^{p-1}}{(p-1)!}}\\0&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &t&{\frac {t^{2}}{2}}\\\vdots &0&\ddots &\ddots &t\\0&\cdots &\cdots &0&1\\\end{pmatrix}}.}$

On voit de cette manière l'intérêt calculatoire de cette méthode.

• Matrice bande

• (en) Eric W. Weisstein, « Jordan Matrix Decomposition », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Jordan Canonical Form », sur MathWorld

v · m Matrices
Forme	Carrée À bande Triangulaire Diagonale Tridiagonale Élémentaire Échelonnée Creuse Aléatoire Circulante Hankel Toeplitz Vandermonde Hessenberg
Transformée	Transposée Conjuguée Adjointe Inverse Comatrice
Relation	équivalentes semblables congruentes
Propriété	Inversible Diagonalisable Semi-simple Trigonalisable Symétrique Antisymétrique Hermitienne Normale Orthogonale Unitaire Symplectique de Hadamard Autoadjointe positive Définie positive Diagonale dominante Nilpotente
Famille	Nulle Identité Vide De Casteljau Cartan Hilbert Mueller Lehmer Pauli Dirac Householder
Associée	Permutation Passage Compagnon Sylvester Adjacence Laplacienne Hessienne Jacobienne Génératrice Contrôle Corrélation Gram Variance-covariance Inertie Jones Gains Stochastique
Résultats	Décompositions LU QR Cholesky Schur Polaire Valeurs singulières Diagonalisation Trigonalisation Réduction de Jordan Facteurs invariants
Articles liés	CKM Théorie des matrices Algèbre linéaire Algèbre multilinéaire Addition matricielle Palette incluant la multiplication des matrices

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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