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En mathématiques, une matrice vide^[1],[2] est définie comme une matrice dont l'une des dimensions ${\displaystyle m}$ ou ${\displaystyle n}$ est nulle ; il s'agit donc de matrices de dimension ${\displaystyle m\times 0}$, ${\displaystyle 0\times n}$ ou de manière triviale ${\displaystyle 0\times 0}$.

Une matrice pouvant être définie abstraitement par une famille finie d'éléments d'un ensemble ${\displaystyle K}$ (souvent un anneau commutatif ou un corps) indexés par un produit cartésien ${\displaystyle I\times J}$ où ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle J}$ sont des ensembles finis, une matrice vide correspond au cas où soit ${\displaystyle I}$ soit ${\displaystyle J}$ est l'ensemble vide^[3].

Ces matrices sont utiles pour travailler avec l'espace nul ${\displaystyle K^{0}}$ (${\displaystyle K}$ étant un corps commutatif quelconque, habituellement ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Elles permettent donc d'appliquer les matrices à cet espace vectoriel trivial. D'un point de vue pratique, les matrices vides étendent la validité de théorèmes à des cas limites ; elles permettent par exemple d'utiliser des équations de dynamique à des situations statiques^[4]. En informatique, une matrice vide peut être le résultat d'une recherche infructueuse ou bien survenir au début ou à la fin d'un algorithme itératif ; l'extension des règles de l'algèbre aux cas limite des matrices vides permet donc d'éviter de traiter ces cas comme des exceptions^[4].

L'espace nul ${\displaystyle K^{0}}$ ne contient qu'un seul élément, le « vecteur vide » (le vecteur n'ayant aucune coordonnée^[5]). Un espace vectoriel ayant nécessairement un élément neutre, ce vecteur vide est le vecteur nul de ${\displaystyle K^{0}}$ noté ${\displaystyle 0_{K^{0}}}$ :

${\displaystyle K^{0}=\{0_{K^{0}}\}}$

L'espace nul est de dimension 0. Soit un ${\displaystyle K}$-espace vectoriel ${\displaystyle E}$ quelconque. Il n'existe qu'une seule application linéaire de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle K^{0}}$, celle transformant tout vecteur de ${\displaystyle E}$ en ce vecteur nul (c'est l'application nulle). L'ensemble des applications linéaires de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle K^{0}}$ est donc un singleton.

${\displaystyle L(E,K^{0})=\left\{f_{E,K^{0}}\right\}}$ avec

${\displaystyle {\begin{matrix}f_{E,K^{0}}:&E&\rightarrow &K^{0}\\&x&\mapsto &0_{K^{0}}\end{matrix}}}$

Si l'on appelle ${\displaystyle n}$ la dimension de ${\displaystyle E}$, alors il existe une unique matrice de dimension ${\displaystyle n\times 0}$ qui représente cette application linéaire unique, c'est une matrice vide que l'on pourra noter ${\displaystyle ()_{n,0}}$.

De même, il n'existe qu'une seule application linéaire de ${\displaystyle K^{0}}$ dans ${\displaystyle E}$, l'image de ${\displaystyle K^{0}}$ par cette application étant le vecteur nul de E puisque l'unique élément de ${\displaystyle K^{0}}$ est le vecteur nul (c'est donc également l'application nulle). L'ensemble des applications linéaires de ${\displaystyle K^{0}}$ dans ${\displaystyle E}$ est également un singleton.

${\displaystyle L(K^{0},E)=\left\{f_{K^{0},E}\right\}}$ avec

${\displaystyle {\begin{matrix}f_{K^{0},E}:&K^{0}&\rightarrow &E\\&x&\mapsto &0_{E}\end{matrix}}}$

Il existe donc une unique matrice de dimension ${\displaystyle 0\times n}$ représentant cette application linéaire, la matrice vide ${\displaystyle ()_{0,n}}$.

En tant que représentant d'une application nulle, une matrice vide est une matrice nulle :

${\displaystyle {\begin{aligned}()_{n,0}=0_{n,0}\\()_{0,n}=0_{0,n}\end{aligned}}}$

La matrice vide de dimension ${\displaystyle 0\times 0}$, notée ${\displaystyle ()_{0,0}}$, représente en particulier l'identité ${\displaystyle \mathrm {Id} _{0}}$ de l'espace nul. C'est donc une matrice inversible (régulière), donc carrée. Elle représente également l'application nulle, donc :

${\displaystyle ()_{0,0}=\mathrm {Id} _{0}=0_{0,0}}$

Dans l'anneau nul des matrices de dimension ${\displaystyle 0\times 0}$, l'unique élément est neutre à la fois pour le produit et pour la somme.

Dans ce qui suit, la notation « () » désigne une matrice vide quelconque.

• l'image de toute matrice vide est réduite au vecteur nul : ${\displaystyle \operatorname {Im} ~()=\{0\}}$ ; le rang de toute matrice vide est donc nul : ${\displaystyle \operatorname {rg} ~()=0}$ ;
• le noyau d'une matrice vide est l'espace tout entier : si ${\displaystyle ()_{n,m}}$ est vide, ${\displaystyle \operatorname {Ker} ~()_{m,n}=K^{m}}$ ;
• la norme de toute matrice vide est nulle : ${\displaystyle \|()\|=0}$;
• la transposée d'une matrice vide est encore vide ;
• le produit dépend de la dimension de la matrice vide considérée : pour une matrice A de dimension ${\displaystyle m\times n}$ et une matrice B de dimension ${\displaystyle n\times p}$, au moins un des entiers ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle p}$ étant nul ; ${\displaystyle AB}$ est une matrice de dimension ${\displaystyle m\times p}$ et donc :
  • si ${\displaystyle m=0}$ , alors ${\displaystyle AB}$ est une matrice de dimension ${\displaystyle 0\times p}$ donc une matrice vide : ${\displaystyle ()_{0,n}\times B=()_{0,p}}$,
  • si ${\displaystyle p=0}$, alors ${\displaystyle AB}$ est une matrice de dimensions ${\displaystyle m\times 0}$, c'est également une matrice vide : ${\displaystyle A\times ()_{n,0}=()_{m,0}}$,
  • mais si ${\displaystyle n=0}$ et si ${\displaystyle m\neq 0}$ et ${\displaystyle p\neq 0}$, alors la matrice ${\displaystyle AB}$ est la matrice nulle de dimension ${\displaystyle m\times p}$

    ${\displaystyle ()_{m,0}\times ()_{0,p}=0_{m,p}}$ ; concrètement, la multiplication des matrices correspond à la composition d'applications linéaires, nous avons ici la composition de deux applications nulles, la résultante est logiquement l'application nulle de l'espace de départ ${\displaystyle K^{p}}$ vers l'espace d'arrivée ${\displaystyle K^{m}}$ ;

L'addition de matrices est une loi de composition interne, les matrices ont donc la même dimension. Ainsi, on ne peut écrire « ${\displaystyle A+()}$ » ou bien « ${\displaystyle ()+A}$ » que si ${\displaystyle A}$ est elle-même une matrice vide identique, le résultat est donc également une matrice vide.

Pour la matrice vide de dimension ${\displaystyle 0\times 0}$ :

• ${\displaystyle ()_{0,0}=I_{0}}$ (matrice identité) donc :
  • la matrice est sa propre inverse : ${\displaystyle ()_{0,0}^{-1}=()_{0,0}}$,
  • la matrice ${\displaystyle ()_{0,0}}$ à valeurs réelles est orthogonale ;
• conditionnement :
  • certains retiennent la convention ${\displaystyle \operatorname {cond} ~()_{0,0}=0}$ par calcul^[2] (puisque la norme est nulle),
  • d'autres retiennent ${\displaystyle \operatorname {cond} ~()_{0,0}=1}$ par application de la notion de conditionnement^[6] (une précision parfaite correspondant à un score de 1 et la matrice vide est une identité, les matrices unités ayant toutes un conditionnement de 1) ;
• déterminant : ${\displaystyle \operatorname {det} ~()_{0,0}=1}$ ; c'est une conséquence de la notion de produit vide dans la formule de Leibniz et c'est cohérent avec le fait que c'est une matrice identité ;
• son polynôme caractéristique est 1 d'après le point précédent ;
• ce polynôme n'a pas de racine donc la matrice n'a pas de valeur propre (et donc pas de vecteur propre) ;
• la matrice vide est nulle donc à la fois symétrique et antisymétrique, et de trace nulle.

Jusqu'à sa version 4, Matlab n'acceptait qu'une matrice vide notée []. À partir de sa version 5, il distingue les matrices vides ${\displaystyle 0\times 0}$ (notée []), ${\displaystyle 0\times 1}$ et ${\displaystyle 1\times 0}$^[7]. On peut obtenir une matrice vide ${\displaystyle 0\times 1}$ par

>> zeros(0, 1)

ans =

   Empty matrix: 0-by-1
>> a = ones(3, 2)
a =

     1     1
     1     1
     1     1
>> b = zeros(3, 2)
b =

     0     0
     0     0
     0     0
>> c = find(a<b)
c =

   Empty matrix: 0-by-1

Le logiciel vérifie la compatibilité des dimensions des matrices vides pour le produit et la somme. Si l'on ajoute un scalaire à la matrice vide — ce qui revient dans Matlab à ajouter le scalaire à tous les éléments de la matrice vide —, Matlab retourne la matrice vide.

>> 5 + c
c =

   Empty matrix: 0-by-1

Concernant le produit, on a :

>> c*c'

ans =

     []

>> c'*c

ans =

     0

On a également sum(c) == 0 et prod(c) == 1 car ce sont les éléments neutres de la somme et du produit respectivement.

Seule la matrice vide ${\displaystyle 0\times 0}$ est considérée comme carrée et inversible. On a alors det([]) == 1, inv([]) == [] et cond([]) == 0.

GNU Octave dispose également de ces trois matrices vide avec un comportement similaire^[8].

Le logiciel Scilab ne définit qu'une seule matrice vide notée []. L'exemple précédent donne dans Scilab :

--> zeros(0, 1)
 ans  =

    []
--> a = ones(3, 2)
 a  = 

   1.   1.
   1.   1.
   1.   1.
--> b = zeros(3, 2)
 b  = 

   0.   0.
   0.   0.
   0.   0.
--> c = find(a<b)
 c  = 

    []

Le logiciel autorise le produit et la somme avec une matrice vide sans vérifier les dimensions. On a :

• [] + A == A + [] == A jusqu'à sa version 5.5.2^[9] et
• [] + A == A + [] == [] à partir de sa version 6.0.0^[10] ;
• A*[] == []*A == [] ;
• sum([]) == 0 et prod([]) == 1 ;
• det([]) == 0^[11] ;
• inv([]) == [] ;
• cond([]) == 1^[6].

Le logiciel R permet de créer des matrices vides de toutes dimensions. Par exemple :

> M <- matrix(, nrow = 3, ncol = 0) # matrice vide 3 × 0
> print(M)
    
[1,]
[2,]
[3,]

> sum(M)
[1] 0

> prod(M)
[1] 1

> N <- aperm(M, c(2, 1)) # transposée, matrice vide 0 × 3
> print(N)
     [,1] [,2] [,3]

> N %*% M # produit matriciel
<0 x 0 matrix>

> M %*% N
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    0    0    0
[2,]    0    0    0
[3,]    0    0    0

> O <- matrix(, nrow = 0, ncol = 0) # matrice vide 0 × 0
> print(O)
<0 x 0 matrix>

> det(O) # déterminant
[1] 1
> A <- matrix(1:6, nrow=2) # matrice 2 × 3
> print(A)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    3    5
[2,]    2    4    6

> A %*% M
    
[1,]
[2,]

Le logiciel Maxima ne permet de créer que des matrices colonne vides ${\displaystyle ()_{n,0}}$ et la matrice carrée vide ${\displaystyle ()_{0,0}}$ :

(%i1) A:matrix()
(%o1) matrix()

(%i2) length(A)
(%o2) 0

(%i3) B:matrix([], [], [])
      ┌ ┐
      │ │
(%o3) │ │
      │ │
      └ ┘

(%i2) length(B)
(%o2) 3

(%i5) transpose(B)
(%o5) matrix()

(%i6) C:matrix([])
(%o6) matrix([])

(%i7) length(C)
(%o7) 1

Notez que matrix() est la matrice ${\displaystyle ()_{0,0}}$ ; Maxima n'est pas cohérent puisque charpoly(A, x), qui calcule le polynôme caractéristique d'une matrice, renvoie une erreur indiquant que A n'est pas carrée mais a pour dimension ${\displaystyle 1\times 0}$. L'expression matrix([]) donne la matrice ${\displaystyle 1\times 1}$ qui contient le vecteur vide et qui, pour Maxima, est différente de matrix(). La transposée d'une matrice ${\displaystyle ()_{n,0}}$ donne la matrice ${\displaystyle ()_{0,0}}$.

La bibliothèque numpy permet de créer une matrice vide (ci-dessous, la matrice se compose de zéro lignes et 5 colonnes) :

import numpy as np  
x = np.empty((0, 5))

La bibliothèque pytorch permet de créer un tenseur vide de zéro lignes et 5 colonnes :

import numpy as np  
import torch
x = np.empty((0, 5))
x = torch.empty(size=(0,5))
x = torch.zeros((0,5))

• [de Boor 1990] (en) Carl de Boor, « An empty exercise », ACM SIGNUM Newsletter, vol. 25, n^o 4,‎ octobre 1990, p. 2-6 (DOI 10.1145/122272.122273, lire en ligne)
• [Nett et Haddad 1993] (en) C. N. Nett et W. M. Haddad, « A system-theoretic appropriate realization of the empty matrix concept », IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 38, n^o 5,‎ 1993, p. 771-775 (DOI 10.1109/9.277245, lire en ligne)

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