En algèbre linéaire, une matrice carrée à coefficients réels ou complexes est dite à diagonale dominante lorsque le module de chaque terme diagonal est supérieur ou égal à la somme des modules des autres termes de sa ligne. Si , on a alors :
De la même manière, A est dite à diagonale strictement dominante lorsque :
Exemples
La matrice
vérifie
C'est donc une matrice à diagonale dominante.
La matrice
vérifie
Ce n'est donc pas une matrice à diagonale dominante.
La matrice
vérifie
C'est donc une matrice à diagonale strictement dominante.
Si A est à diagonale dominante alors, elle est positive si (et seulement si) ses coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls.
Si A est à diagonale strictement dominante alors, elle est définie positive si (et seulement si) ses coefficients diagonaux sont des réels strictement positifs[2].
Démonstration
Le sens « seulement si » résulte immédiatement de la définition des matrices positives et définies positives. Réciproquement, supposons que est une matrice hermitienne à diagonale dominante dont les coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls (resp. strictement positifs). Soit λ une valeur propre (nécessairement réelle) de A. Alors,
(resp. ).
Comme est positif ou nul (resp. strictement positif), λ l'est aussi, ce qui prouve que A est positive (resp. définie positive).
Le second point peut aussi se déduire du premier et du lemme d'Hadamard.
↑Jean-Étienne Rombaldi, Leçons d'oral pour l'agrégation de mathématiques : Première épreuve : les exposés (lire en ligne), p. 131, exercice (corrigé) 14.3, dans le cas d'une matrice symétrique réelle.
![{\displaystyle A=(a_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d41abb3a5dab18f45d34b79afb75bea9bb6690d)
![{\displaystyle \forall i\in [\![1,n]\!],\ |a_{i,i}|\geq \sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}|a_{i,j}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5270fbddceb09f38e9893b8649b9dec0d7859db)
![{\displaystyle \forall i\in [\![1,n]\!],\ |a_{i,i}|>\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}|a_{i,j}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d411239059084c72a4871eb08acbc1c81904a250)
![{\displaystyle \exists i\in [\![1,n]\!]\quad |a_{i,i}|\leq \sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}|a_{i,j}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7206cdd7a07aca6949562de9c48b649fe2491f74)
![{\displaystyle \exists i\in [\![1,n]\!]\quad |a_{i,i}-\lambda |\leq \sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}|a_{i,j}|\leq |a_{i,i}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/076f3ef095a6f44c9af240f912d9b49b4e3a0973)
