Préliminaires

On note M₁ et m₂ la masse des deux corps, la masse du premier étant supposée supérieure ou égale à celle du second. Les deux corps sont supposés être en orbite circulaire, leur séparation étant R. Les deux corps orbitent autour de leur centre de gravité commun. On note r₁ et r₂ les distances algébriques des deux corps par rapport au centre de gravité commun selon un axe orienté du corps 1 au corps 2 (c'est-à-dire que r₁ va être négatif et r₂ positif). Le centre de gravité est défini par l'équation

${\displaystyle M_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}=0}$,

avec par définition de la distance R,

${\displaystyle r_{2}-r_{1}=R}$.

Ces deux équations ont pour solution

${\displaystyle r_{1}=-{\frac {m_{2}}{M}}R}$,

${\displaystyle r_{2}={\frac {M_{1}}{M}}R}$,

où on a noté M = M₁ + m₂ la masse totale du système.

Les deux corps orbitent l'un autour de l'autre à une vitesse angulaire ω, dont la valeur est donnée par la troisième loi de Kepler :

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {GM}{R^{3}}}}$,

G étant la constante de gravitation.

Si l'on se place dans le référentiel tournant avec les deux corps, c'est-à-dire à la vitesse angulaire ω, un corps immobile sera soumis, outre aux forces gravitationnelles des deux corps, à la force centrifuge. Si on note r le rayon vecteur de ce corps, la force centrifuge par unité de masse f_c à laquelle il sera soumis s'écrit

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{\rm {c}}={\boldsymbol {r}}\;\omega ^{2}}$.

Équation fondamentale

La définition d'un point de Lagrange est que la somme des forces gravitationnelles et inertielles s'annule en ces points. En notant r le rayon vecteur du ou des points en question, on a ainsi

${\displaystyle -{\frac {GM_{1}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1})}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}||^{3}}}-{\frac {Gm_{2}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2})}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}||^{3}}}+{\boldsymbol {r}}\;\omega ^{2}=0}$,

les doubles barres indiquant que l'on prend la norme des vecteurs considérés. On remplace ensuite la vitesse angulaire ω par sa valeur issue de la troisième loi de Kepler, ce qui donne

${\displaystyle -{\frac {GM_{1}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1})}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}||^{3}}}-{\frac {Gm_{2}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2})}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}||^{3}}}+{\frac {GM{\boldsymbol {r}}}{R^{3}}}=0}$,

que l'on simplifie immédiatement par la constante de gravitation

${\displaystyle -M_{1}{\frac {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}||^{3}}}-m_{2}{\frac {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}||^{3}}}+M{\frac {\boldsymbol {r}}{R^{3}}}=0}$.

C'est la résolution de cette équation qui donne les différents points de Lagrange.

Les deux cas à considérer

La projection de cette équation perpendiculairement au plan de l'orbite, dont la normale est donnée par un vecteur noté ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {z}}}}$ donne immédiatement

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}\cdot {\hat {\boldsymbol {z}}}=0}$,

ce qui implique que l'ensemble des points de Lagrange est situé dans le plan de l'orbite. La résolution de l'équation se fait donc dans le plan orbital. Deux cas sont à considérer :

• celui où l'on cherche un point le long de l'axe formé par les deux corps,
• celui où l'on cherche un point en dehors de cet axe.

Le second cas s'avère être le plus simple à étudier.

Cas des points L₄ et L₅

On suppose que le rayon vecteur r n'est pas parallèle à l'axe passant par les deux corps. On projette donc l'équation fondamentale perpendiculairement à cet axe, direction que l'on suppose définie par un vecteur noté ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}}$. Par définition, cette direction étant perpendiculaire à l'axe reliant les deux corps, on a

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{1}={\hat {\boldsymbol {y}}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{2}=0.}$.

L'équation fondamentale se réécrit donc

${\displaystyle -M_{1}{\frac {{\hat {\boldsymbol {y}}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}||^{3}}}-m_{2}{\frac {{\hat {\boldsymbol {y}}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}||^{3}}}+M{\frac {{\hat {\boldsymbol {y}}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{R^{3}}}=0}$.

Les termes en ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}\cdot {\boldsymbol {r}}}$ se simplifient, ce qui donne

${\displaystyle -{\frac {M_{1}}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}||^{3}}}-{\frac {m_{2}}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}||^{3}}}+{\frac {M}{R^{3}}}=0}$.

On définit maintenant la direction ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {s}}}}$ comme la perpendiculaire à r. Comme r n'est pas colinéaire à r₁ et r₂, les quantités ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {s}}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{1,2}}$ ne sont pas nulles. En projetant l'équation fondamentale le long de s, on obtient

${\displaystyle M_{1}{\frac {{\hat {\boldsymbol {s}}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{1}}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}||^{3}}}+m_{2}{\frac {{\hat {\boldsymbol {s}}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{2}}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}||^{3}}}=0}$.

Or, d'après le théorème de Thalès, les projections de r₁ et r₂ le long de ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {s}}}}$ sont dans le même rapport que les projections de ces vecteurs le long de l'axe reliant les deux corps. Il s'ensuit que l'équation précédente peut se réécrire

${\displaystyle M_{1}{\frac {r_{1}}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}||^{3}}}+m_{2}{\frac {r_{2}}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}||^{3}}}=0}$.

Le barycentre des deux corps implique, comme vu précédemment, que

${\displaystyle M_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}=0}$.

La combinaison de cette équation et celle qui précède implique donc que les deux distances ${\displaystyle ||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}||}$ et ${\displaystyle ||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}||}$ sont identiques, leur valeur étant notée R' :

${\displaystyle ||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}||=||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}||\equiv R'}$.

En injectant ce résultat sur la projection le long de r, il vient alors

${\displaystyle -{\frac {M_{1}}{R'^{3}}}-{\frac {m_{2}}{R'^{3}}}+{\frac {M}{R^{3}}}=0}$.

En multipliant le tout par R'³ et en se souvenant que M est la somme des deux masses, on obtient finalement

${\displaystyle M\left({\frac {R'^{3}}{R^{3}}}-1\right)=0}$,

ce qui donne finalement

${\displaystyle ||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}||=||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}||=R}$,

c'est-à-dire que les points cherchés forment un triangle équilatéral avec les deux corps du système. Ces triangles sont de plus inclus dans le plan orbital, ce qui donne deux points possibles, notés comme annoncé L₄ et L₅, étant situé de part et d'autre de l'axe reliant les deux corps.

En utilisant le théorème de Pythagore, la distance D de ces deux points de Lagrange du centre de gravité du système s'écrit

${\displaystyle D^{2}=(-|r_{1}|+R/2)^{2}+({\sqrt {3}}R/2)^{2}}$,

ce qui donne

${\displaystyle D^{2}=r_{1}^{2}+{\frac {1}{4}}R^{2}-R|r_{1}|+{\frac {3}{4}}R^{2}}$,

ce qui donne

${\displaystyle D^{2}=R^{2}+r_{1}^{2}-R|r_{1}|}$.

En utilisant le fait que ${\displaystyle R=|r_{1}|+r_{2}}$, il vient

${\displaystyle D^{2}=r_{2}^{2}+|r_{1}|R=r_{1}^{2}+r_{2}R}$.

La distance est donc supérieure aux distances de chacun des deux corps au centre de gravité du système. Ces points de Lagrange sont donc au-delà de l'orbite du corps le moins massif et ne sont pas strictement situés sur celle-ci, quoique ce soit quasiment le cas dans la limite où la masse du corps le plus léger devient négligeable par rapport à celle de son compagnon.

Cas des points L₁ à L₃

Dans le cas où l'on considère des points de Lagrange situés sur l'axe reliant les deux corps, trois sous-cas sont à considérer :

1. Le cas où le ou les points sont entre les corps 1 et 2 ;
2. Le cas où le ou les points sont à l'opposé du corps 2 par rapport au corps 1 ;
3. Le cas où le ou les points sont à l'opposé du corps 1 par rapport au corps 2.

Dans ces trois cas, l'équation fondamentale se réécrit de la façon suivante :

• Cas 1 : la projection des deux forces sur l'axe a des signes opposés (la projection de la force exercée par le corps 1 est négative, celle de la force exercée par le corps 2 est positive), ce qui donne

  ${\displaystyle -{\frac {M_{1}}{(r-r_{1})^{2}}}+{\frac {m_{2}}{(r-r_{2})^{2}}}+M{\frac {r}{R^{3}}}=0}$,

avec

${\displaystyle r_{1}<r<r_{2}}$.

• Cas 2 : la projection des deux forces sur l'axe est négative, ce qui donne

  ${\displaystyle -{\frac {M_{1}}{(r-r_{1})^{2}}}-{\frac {m_{2}}{(r-r_{2})^{2}}}+M{\frac {r}{R^{3}}}=0}$,

avec

${\displaystyle r_{1}<r_{2}<r}$.

• Cas 3 : la projection des deux forces sur l'axe est positive, ce qui donne

  ${\displaystyle {\frac {M_{1}}{(r-r_{1})^{2}}}+{\frac {m_{2}}{(r-r_{2})^{2}}}+M{\frac {r}{R^{3}}}=0}$,

avec

${\displaystyle r<r_{1}<r_{2}}$.

Chacune de ces trois équations peut se ramener à une équation polynomiale du cinquième degré, pour laquelle il n'existe pas de solution analytique exacte, sauf cas particulier (comme celui des deux masses identiques, par exemple).

L'unicité des solutions dans chacun des trois cas se déduit du fait que l'équation à résoudre sur l'équilibre des forces dérive d'un potentiel U, donné par

${\displaystyle U=-{\frac {M_{1}}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}||}}-{\frac {m_{2}}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}||}}-{\frac {1}{2}}{\frac {Mr^{2}}{R^{3}}}}$.

Ce potentiel représente des pôles en r₁ et r₂, et correspond en dehors de ces valeurs à la somme de trois termes concaves et est donc localement concave. Il ne possède donc qu'un seul extrême local dans chacun des domaines où il est défini, c'est-à-dire dans chacun des trois cas cités plus haut.

Forme réduite et solution dans le cas où le rapport entre les masses est faible

Quand le rapport entre m₂ et M₁ (ou entre m₂ et M) est faible, on peut trouver une solution approchée pour la position de chacun des points en effectuant un développement limité à partir d'une solution approchée facile à trouver. Pour simplifier les notations, on effectue un changement d'échelle afin d'exprimer toutes les longueurs en unité de la séparation R et les masse en unité de la masse totale M. On pose ainsi

${\displaystyle u=r/R}$,

et

${\displaystyle u_{1,2}=r_{1,2}/R}$,

et on définit le petit paramètre q par

${\displaystyle q\equiv m_{2}/M}$,

à partir de quoi on peut exprimer

${\displaystyle M_{1}/M=1-q}$,

${\displaystyle u_{1}=-q}$,

${\displaystyle u_{2}=1-q}$.

Dans ce cas là, les trois équations écrites ci-dessus prennent la forme plus simple

• Cas 1 :

  ${\displaystyle -{\frac {1-q}{(u+q)^{2}}}+{\frac {q}{(u-1+q)^{2}}}+u=0}$,

avec

${\displaystyle -q<u<1-q}$.

• Cas 2 : la projection des deux forces sur l'axe est négative, ce qui donne

  ${\displaystyle -{\frac {1-q}{(u+q)^{2}}}-{\frac {q}{(u-1+q)^{2}}}+u=0}$,

avec

${\displaystyle 1-q<u}$.

• Cas 3 : la projection des deux forces sur l'axe est positive, ce qui donne

  ${\displaystyle {\frac {1-q}{(u+q)^{2}}}+{\frac {q}{(u-1+q)^{2}}}+u=0}$,

avec

${\displaystyle u<-q}$.

Le point L₁

Quand la masse du corps 2 est négligeable, l'attraction de celui-ci est négligeable sauf si la particule d'épreuve est très proche. Or, quand l'attraction du corps 2 est négligeable, l'équilibre entre l'attraction du corps 1 et la force centrifuge est tel que la distance du point d'équilibre est de l'ordre de R. Quand le point d'équilibre est situé à l'opposé du corps 2, on est dans le cas du point de Lagrange L₃, qui est donc, en gros, situé à l'opposé du corps 2 par rapport au corps 1. Dans le cas contraire, on va donc supposer que le point d'équilibre est plutôt proche du corps 2 (et donc à nouveau situé à la distance R du corps 1), mais néanmoins suffisamment éloigné pour que l'attraction du corps 2 exercée sur la particule d'épreuve reste petite par rapport à celle du corps 1. On pose donc à partir de la forme réduite

${\displaystyle u=u_{2}+\varepsilon '=1-q+\varepsilon '}$,

où ici ε' est une quantité petite et négative (on suppose ici que le point est entre les deux corps). L'équation réduite se transforme alors en

${\displaystyle -{\frac {1-q}{(1+\varepsilon ')^{2}}}+{\frac {q}{\varepsilon '^{2}}}+1-q+\varepsilon '=0}$.

On effectue un développement limité au premier ordre de l'attraction produite par le corps 1 :

${\displaystyle -(1-q)(1-2\varepsilon ')+{\frac {q}{\varepsilon '^{2}}}+1-q+\varepsilon '=0}$.

Les termes en 1 - q se simplifient, et il reste

${\displaystyle (3-2q)\varepsilon '+{\frac {q}{\varepsilon '^{2}}}=0}$.

Toujours en ne gardant que les termes d'ordre le plus bas en q, il vient

${\displaystyle \varepsilon '=-\left({\frac {q}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}}$.

On peut par la suite continuer le calcul, en développant l'écart du point au corps 2 en puissances de ε'. On pose ainsi

${\displaystyle u=1-q+\varepsilon '+x\varepsilon '^{2}+{\mathcal {O}}(\varepsilon '^{3})}$.

L'équation fondamentale réduite donne alors

${\displaystyle -{\frac {1-q}{(1+\varepsilon '+x\varepsilon '^{2})^{2}}}+{\frac {q}{(\varepsilon '+x\varepsilon '^{2})^{2}}}+1-q+\varepsilon '+x\varepsilon '^{2}=0}$.

On peut factoriser le second terme avec q / ε'², que l'on peut remplacer par sa valeur, soit -3 ε'. On obtient alors

${\displaystyle -(1-q)(1+\varepsilon '+x\varepsilon '^{2})^{-2}-3\varepsilon '(1+x\varepsilon ')^{-2}+1-q+\varepsilon '+x\varepsilon '^{2}=0}$.

On effectue ensuite un développement limité des deux premiers termes, au second ordre pour le premier et au premier ordre pour le suivant, ce qui donne

${\displaystyle -(1-q)(1-2\varepsilon '-2x\varepsilon '^{2}+3\varepsilon '^{2})-3\varepsilon '(1-2x\varepsilon ')+1-q+\varepsilon '+x\varepsilon '^{2}=0}$,

d'où on déduit que x vaut un tiers, ce qui donne

${\displaystyle u=1-q+\varepsilon '+{\frac {1}{3}}\varepsilon '^{2}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3})}$.

Le développement peut ensuite être continué suivant la même procédure. À l'ordre suivant, on a ainsi

${\displaystyle u=1-q+\varepsilon '+{\frac {1}{3}}\varepsilon '^{2}-{\frac {1}{9}}\varepsilon '^{3}+{\mathcal {O}}(\varepsilon '^{4})}$.

Le point L₂

Le cas du point L₂ se résout exactement comme dans la section précédente, si ce n'est que le signe du second terme de l'équation fondamentale est négatif. On pose donc

${\displaystyle u=1-q+\varepsilon }$,

ε étant cette fois-ci supposé petit et positif, et on a ainsi

${\displaystyle -{\frac {1-q}{(1+\varepsilon )^{2}}}-{\frac {q}{\varepsilon ^{2}}}+1-q+\varepsilon =0}$.

La résolution à l'ordre le plus bas donne

${\displaystyle -(1-q)(1-2\varepsilon )-{\frac {q}{\varepsilon ^{2}}}+1-q+\varepsilon =0}$,

qui après annulation des termes donne

${\displaystyle 3\varepsilon ={\frac {q}{\varepsilon ^{2}}}}$,

soit

${\displaystyle \varepsilon =\left({\frac {q}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}=-\varepsilon '}$.

Cela correspond au signe près au même résultat que précédemment. La suite du développement de la solution se fait de même que précédemment. On part de

${\displaystyle u=1-q+\varepsilon +x\varepsilon ^{2}}$,

et on injecte ce résultat dans l'équation fondamentale

${\displaystyle -{\frac {1-q}{(1+\varepsilon +x\varepsilon ^{2})^{2}}}-{\frac {q}{(\varepsilon +x\varepsilon ^{2})^{2}}}+1-q+\varepsilon +x\varepsilon ^{2}=0}$.

Comme précédemment, on transforme cette expression selon

${\displaystyle -(1-q)(1-2\varepsilon -2x\varepsilon ^{2}+3\varepsilon ^{2})-3\varepsilon (1-2x\varepsilon )+1-q+\varepsilon +x\varepsilon ^{2}=0}$,

ce que l'on résout en

${\displaystyle x={\frac {1}{3}}}$,

soit

${\displaystyle u=1-q+\varepsilon +{\frac {1}{3}}\varepsilon ^{2}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3})}$.

Cette expression est identique à celle du premier point de Lagrange en remplaçant ε' par ε, mais ces deux points sont dissymétriques : comme le signe de ε, ε' change entre le point L₁ et le point L₂, la correction du second ordre, toujours positive, rapproche le point L₁ du corps 2 alors qu'elle éloigne le point L₂ : les deux points ne sont plus à égale distance du corps 2. Pour la Terre, le rapport de masse est de ¹⁄_300 000, et ε est de l'ordre 0,01, ce qui place les deux points par rapport à la Terre à une distance d'environ un centième de la distance Terre-Soleil, soit dans les 1 500 000 kilomètres. Le terme de second ordre est de l'ordre d'un trente-millième de la distance Terre-Soleil, soit dans les 5 000 km. Le point L₁ est donc environ 10 000 km plus près de la Terre que ne l'est L₂.

Enfin, on peut poursuivre le développement à l'ordre supérieur, ce qui donne, tous calculs faits

${\displaystyle u=1-q+\varepsilon +{\frac {1}{3}}\varepsilon ^{2}-{\frac {1}{9}}\varepsilon ^{3}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{4})}$.

Le point L₃

Dans le cas 3, qui va correspondre au point L₃, l'équation fondamentale s'écrit

${\displaystyle {\frac {1-q}{(u+q)^{2}}}+{\frac {q}{(u-1+q)^{2}}}+u=0}$.

Comme le point est supposé au-delà du corps 1 par rapport au corps 2, il est plus proche du corps le plus massif, dont l'attraction va être prépondérante par rapport à l'autre corps. Dans la situation où l'on se place, le point recherché a donc sa position approximée par

${\displaystyle {\frac {1-q}{(u+q)^{2}}}+u=0}$.

La solution approchée de cette équation est, bien sûr

${\displaystyle u\simeq -1}$.

Pour trouver les écarts à cette valeur, on écrit dans l'équation fondamentale

${\displaystyle u=-1+v}$,

et on résout l'équation en prenant en compte les premiers termes en q. On obtient ainsi

${\displaystyle {\frac {1-q}{(-1+v+q)^{2}}}+{\frac {q}{(-1-1+v+q)^{2}}}-1+v=0}$.

Les quantités ${\displaystyle v}$ et q étant petites devant R, le premier terme s'écrit

${\displaystyle {\frac {1-q}{(-1+v+q)^{2}}}=(1-q)(1-v-q)^{-2}\simeq (1-q)+2(v+q)}$.

Le second terme étant négligeable par rapport au précédent (il est proportionnel à q), il peut s'approximer en

${\displaystyle {\frac {q}{(-1-1+v+q)^{2}}}\simeq {\frac {q}{4}}}$.

En combinant l'ensemble de ces termes, on obtient

${\displaystyle 1-q+2(v+q)+{\frac {q}{4}}-1+v=0}$,

ce qui donne

${\displaystyle {\frac {5}{4}}q+3v=0}$,

c'est-à-dire

${\displaystyle v=-{\frac {5}{12}}{\frac {m_{2}}{M}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {m_{2}^{2}}{M^{2}}}\right)}$.

On peut sans difficulté continuer ce calcul en posant désormais

${\displaystyle u=-1-{\frac {5}{12}}q+w}$,

${\displaystyle w}$ étant cette fois proportionnel à q². L'équation fondamentale devient alors

${\displaystyle {\frac {1-q}{\left(-1-{\frac {5}{12}}q+w+q\right)^{2}}}+{\frac {q}{\left(-1-1-{\frac {5}{12}}q+w+q\right)^{2}}}-1-{\frac {5}{12}}q+w=0}$,

c'est-à-dire

${\displaystyle {\frac {1-q}{\left(1-{\frac {7}{12}}q-w\right)^{2}}}+{\frac {q}{\left(2-{\frac {7}{12}}q-w\right)^{2}}}-1-{\frac {5}{12}}q+w=0}$.

En développant cette expression au second ordre en q, on trouve

${\displaystyle w=0+{\mathcal {O}}(q^{3})}$,

c'est-à-dire que ${\displaystyle w}$ est au plus en q³. En refaisant le calcul dans ce cadre là, on trouve finalement

${\displaystyle w={\frac {1127}{20736}}q^{3}+{\mathcal {O}}(q^{4})}$.

Il est rarement utile de pousser le calcul jusque-là : dans une configuration Soleil-Planète, le dernier terme correctif est au mieux de l'ordre 10^-9, puisque le plus grand rapport de masse Planète-Soleil, dans le cas de Jupiter est de l'ordre d'un millième. Le terme q³ est donc, pour Jupiter, de l'ordre d'un milliardième, ce qui, au vu de la taille de son orbite, correspond à une correction d'une cinquantaine de mètres, étant donné que la fraction en facteur de q³ est de l'ordre d'un vingtième. Pour le système Terre-Soleil (distance de l'ordre de 150 millions de kilomètres, rapport de masse de l'ordre de ¹⁄_300 000), la dernière correction est une fraction de micron.

Préliminaire

Pour étudier la stabilité des points de Lagrange, on va être amené à calculer les dérivées successives du potentiel. Ce potentiel fait intervenir la distance |r - r₁|. Il faut donc connaître les dérivées des différentes puissances d'une telle quantité. En coordonnées cartésiennes, cette quantité s'écrit

${\displaystyle |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|={\sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2}}}}$.

Sa dérivée par rapport à l'une des coordonnées x, y, z, collectivement notées x_i s'écrit donc

${\displaystyle \partial _{i}|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|={\frac {1}{2}}{\frac {2(x_{i}-x_{1\;i})}{\sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2}}}}={\frac {x_{i}-x_{1\;i}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|}}}$.

La dérivée d'une puissance p quelconque de cette grandeur est donc

${\displaystyle \partial _{i}(|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|^{p})=p(x_{i}-x_{1\;i})|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|^{p-2}}$.

En adaptant ce résultat aux dérivées secondes des quantités intervenant dans le potentiel, on a

${\displaystyle \partial _{ij}\left({\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|}}\right)=-{\frac {\delta _{ij}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|^{3}}}+3{\frac {(x_{i}-x_{1\;i})(x_{j}-x_{1\;j})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|^{5}}}}$,

ce qui, pour le potentiel complet, donne

${\displaystyle \partial _{ij}\Omega =\delta _{ij}{\frac {GM_{1}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|^{3}}}-3{\frac {(x_{i}-x_{1\;i})(x_{j}-x_{1\;j})GM_{1}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|^{5}}}+\delta _{ij}{\frac {Gm_{2}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}|^{3}}}-3{\frac {(x_{i}-x_{2\;i})(x_{j}-x_{2\;j})Gm_{2}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}|^{5}}}-\omega ^{2}\delta _{ij}}$,

où δ_ij représente le symbole de Kronecker. C'est la valeur de ces dérivées partielles qu'il faut calculer pour déterminer la stabilité des différents points de Lagrange. C'est pour les points de Lagrange L₄ et L₅ que ce calcul est le plus simple.

Cas des points de Lagrange L₄ et L₅

Ces points se caractérisent par le fait que leur distance aux deux corps est identique et égale à R :

${\displaystyle |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|=|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}|=R}$.

Par ailleurs, on peut utiliser la troisième loi de Kepler pour passer des quantités du type G M / R³ à ω, et on connaît les coordonnées exactes des points de Lagrange. En évaluant les dérivées du potentiel aux points de Lagrange L₄ ou L₅, on a

${\displaystyle x_{i}-x_{1\;i}=\left({\frac {1}{2}}R,\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}R\right)}$,

et

${\displaystyle x_{i}-x_{2\;i}=\left(-{\frac {1}{2}}R,\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}R\right)}$,

le signe + s'appliquant pour L₅ et le signe - pour L₄. Finalement, la matrice recherchée a pour composantes

${\displaystyle \partial _{ij}\Omega =\omega ^{2}\left({\begin{array}{cc}-{\frac {3}{4}}&\mp {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}(1-2q)\\\mp {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}(1-2q)&-{\frac {9}{4}}\end{array}}\right)}$.

Le déterminant de cette matrice vaut

${\displaystyle \det(\partial _{ij}\Omega )=\Omega _{,xx}\Omega _{,xy}-\Omega _{,xy}^{2}={\frac {27}{16}}\left(1-(1-2q)^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {27}{4}}\omega ^{2}q(1-q)}$,

qui est toujours positif puisque q est confiné entre 0 et 1. Cette première condition de stabilité est établie. La seconde condition de stabilité s'écrit

${\displaystyle \Omega _{,xx}+\Omega _{,yy}+4\omega ^{2}=\omega ^{2}\left(-{\frac {3}{4}}-{\frac {9}{4}}+4\right)=+\omega ^{2}}$,

quantité là encore positive. Enfin, le discriminant donne

${\displaystyle \left(\Omega _{,xx}+\Omega _{,yy}+4\omega ^{2}\right)^{2}-4\left(\Omega _{,xx}\Omega _{,xy}-\Omega _{,xy}^{2}\right)=\omega ^{2}\left(1-27q(1-q)\right)=\omega ^{2}(27q^{2}-27q+1)}$.

La stabilité des deux points est, finalement, déterminée par la positivité de la quantité ${\displaystyle 27q^{2}-27q+1}$. Les zéros q_a, q_b de ce polynôme sont donnés par la formule usuelle, qui ici indique

${\displaystyle q_{a,b}={\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {23}{27}}}}$.

Ce polynôme a ainsi des valeurs négatives sur la plage ${\displaystyle q\in \left]{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {23}{27}}},{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {23}{27}}}\right[\simeq ]0,\!03852,0,\!96148[}$. Ainsi, la stabilité de ces deux points de Lagrange n'est assurée que si la plus petite masse n'excède pas 3,852 % de la masse totale, ou, de façon équivalente, que le rapport des deux masses n'excède pas 4,006 %^[6].

Cette condition est vérifiée pour toutes les configurations de type Soleil-Planète (où q n'excède pas environ un millième pour Jupiter), ou pour le système Terre-Lune (où q est de l'ordre de 1/80, soit 1,25 %).

Cas des points de Lagrange L₁ à L₃

Les trois points de Lagrange L₁ à L₃ sont situés sur l'axe reliant les deux corps. Dans la formule qui donne les dérivées secondes, les quantités y_i - y_{1 i} sont nulles, alors que leurs analogues en x s'identifient aux distances entre un des corps et le point de Lagrange considéré. En conséquence, la matrice des dérivées secondes s'écrit

${\displaystyle \partial _{ij}\Omega =\left({\begin{array}{cc}-2{\frac {GM_{1}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|^{3}}}-2{\frac {Gm_{2}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}|^{3}}}-\omega ^{2}&0\\0&{\frac {GM_{1}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|^{3}}}+{\frac {Gm_{2}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}|^{3}}}-\omega ^{2}\end{array}}\right)}$.

Le terme Ω_,xx est manifestement négatif. Le signe du déterminant de la matrice est déterminé par celui de Ω_,yy : si ce dernier est positif, alors le point de Lagrange est un point selle et il est instable. On peut réécrire ce terme en utilisant la troisième loi de Kepler :

${\displaystyle \Omega _{,yy}=\omega ^{2}\left((1-q){\frac {R^{3}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|^{3}}}+q{\frac {R^{3}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}|^{3}}}-1\right)}$.

Le cas de L₁

Le point de Lagrange L₁ est situé entre les deux corps. Sa distance à ceux-ci, |r - r₁| et |r - r₂| est donc, à chaque fois, strictement inférieure à R. On a ainsi

${\displaystyle \left.\Omega _{,yy}\right|_{L_{1}}=\omega ^{2}\left((1-q){\frac {R^{3}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|^{3}}}+q{\frac {R^{3}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}|^{3}}}-1\right)>\omega ^{2}\left((1-q)+q-1\right)=0}$.

Cette quantité est donc strictement positive, ce qui assure que le déterminant est négatif, c'est-à-dire que L₁ est un point selle, ce qui en fait un point instable.

Le cas de L₂ et L₃

On pose, pour simplifier les notations,

${\displaystyle u_{1}={\frac {|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}|}{R}}}$,

${\displaystyle u_{2}={\frac {|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{2}|}{R}}}$.

On s'intéresse donc au signe de la quantité

${\displaystyle {\frac {\Omega _{,yy}}{\omega ^{2}}}=(1-q){\frac {1}{u_{1}^{3}}}+q{\frac {1}{u_{2}^{3}}}-1}$,

soit

${\displaystyle {\frac {\Omega _{,yy}}{\omega ^{2}}}=(1-q)\left({\frac {1}{u_{1}^{3}}}-1\right)+q\left({\frac {1}{u_{2}^{3}}}-1\right)}$,

sachant que u₁ et u₂ sont reliés entre eux par le fait que leur différence est égale à 1 et qu'ils définissent un point de Lagrange, soit la relation

${\displaystyle -(1-q){\frac {1}{u_{1}^{2}}}-q{\frac {1}{u_{2}^{2}}}+{\frac {|{\boldsymbol {r}}|}{R}}=0}$.

La distance du point de Lagrange au centre de gravité du système peut s'écrire, pour le point L₂,

${\displaystyle {\frac {|{\boldsymbol {r}}|}{R}}=u_{2}+(1-q)=u_{1}-q}$,

relations que l'on peut combiner en

${\displaystyle {\frac {|{\boldsymbol {r}}|}{R}}=qu_{2}+(1-q)u_{1}}$.

La position du point L₂ est donc donnée par

${\displaystyle -(1-q)\left({\frac {1}{u_{1}^{2}}}-u_{1}\right)-q\left({\frac {1}{u_{2}^{2}}}-u_{2}\right)=0}$.

On pose alors

${\displaystyle A=(1-q)\left({\frac {1}{u_{1}^{2}}}-u_{1}\right)}$,

${\displaystyle B=q\left({\frac {1}{u_{2}^{2}}}-u_{2}\right)}$.

On a donc, d'une part

${\displaystyle A+B=0}$,

et, d'autre part

${\displaystyle {\frac {\Omega _{,yy}}{\omega ^{2}}}={\frac {A}{u_{1}}}+{\frac {B}{u_{2}}}}$.

Autrement dit,

${\displaystyle {\frac {\Omega _{,yy}}{\omega ^{2}}}={\frac {A}{u_{1}}}+{\frac {B}{u_{1}}}+B\left({\frac {1}{u_{2}}}-{\frac {1}{u_{1}}}\right)}$.

Le premier terme du membre de droite est nul en vertu de la relation A + B = 0. Il reste donc

${\displaystyle {\frac {\Omega _{,yy}}{\omega ^{2}}}=B\left({\frac {1}{u_{2}}}-{\frac {1}{u_{1}}}\right)}$.

Or, pour le point L₂, on est situé plus près du corps 2 que du corps 1. Par conséquent, u₂ est plus petit que u₁, et, par conséquent, ${\displaystyle \left({\frac {1}{u_{2}}}-{\frac {1}{u_{1}}}\right)}$ est positif. Le signe de la dérivée seconde correspond donc à celui de B, qui lui-même est déterminé par la valeur de u₂ : si cette quantité est supérieure à 1, alors B est négatif, alors que, dans le cas contraire, B est positif, ce qui implique que le point est instable. Le point de Lagrange L₂ est situé au-delà du corps 2. La force totale (gravitationnelle plus centrifuge) s'exerçant dans cette région est d'abord tournée vers le corps 2 quand on est proche de celui-ci, puis s'annule en L₂ et est après dirigée à l'opposé de L₂. Au point tel que u₂ vaut 1, la composante de cette force, selon l'axe reliant les deux corps, est donnée (à une constante multiplicative positive près) par

${\displaystyle \delta f\propto -(1-q)\left({\frac {1}{u_{1}^{2}}}-u_{1}\right)-q\left({\frac {1}{u_{2}^{2}}}-u_{2}\right)}$,

avec, ici,

${\displaystyle u_{2}=1}$,

${\displaystyle u_{1}=2}$,

soit

${\displaystyle \left.\delta f\right|_{u_{2}=1}\propto {\frac {7}{4}}(1-q)}$.

Cette quantité étant strictement positive, le point u₂ = 1 de l'axe est situé au-delà du point L₂. En conséquence, au point L₂, u₂ est inférieur à 1, donc B est positif, donc le point est bien un point selle, ce qui assure de son instabilité. Une démonstration strictement analogue peut être faite pour le point L₃, ce qui achève la démonstration de leur instabilité du fait de leur caractère de point selle.

L'équation donnant les valeurs propres du système est toujours

${\displaystyle \lambda ^{4}+(\Omega _{,xx}+\Omega _{,yy}+4\omega ^{2})\lambda ^{2}+\Omega _{,xx}\Omega _{,yy}-\Omega _{,xy}^{2}=0}$,

avec, pour les points L₁ et L₂,

${\displaystyle \Omega _{,xy}=0}$,

${\displaystyle \Omega _{,xx}=-2\Omega _{,yy}-3\omega ^{2}}$,

${\displaystyle \Omega _{,yy}=\omega ^{2}\left({\frac {q}{u_{2}^{3}}}+{\frac {1-q}{u_{1}^{3}}}-1\right)}$.

en se restreignant aux termes d'ordre le plus bas en q, u₁ vaut 1, et u₂ est déterminé par la relation donnée par le premier tableau de cette page. On a ainsi

${\displaystyle \Omega _{,yy}=\omega ^{2}\left(3+1-1\right)=3\omega ^{2}}$,

${\displaystyle \Omega _{,xx}=-9\omega ^{2}}$.

L'équation polynomiale devient alors

${\displaystyle \lambda ^{4}-2\omega ^{2}\lambda ^{2}-27\omega ^{4}=0}$,

dont les solutions sont

${\displaystyle \lambda _{\pm }^{2}=\left(1\pm 2{\sqrt {7}}\right)\omega ^{2}}$.

La solution positive à cette équation indique que les écarts au point d'équilibre croissent exponentiellement au cours du temps selon la relation

${\displaystyle \delta X\propto e^{\lambda _{+}t}}$,

avec

${\displaystyle \lambda _{+}=\omega {\sqrt {1+2{\sqrt {7}}}}={\frac {2\pi }{T}}{\sqrt {1+2{\sqrt {7}}}}}$.

Le temps caractéristique associé est donc

${\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}={\frac {1}{\lambda _{+}}}={\frac {T}{2\pi {\sqrt {1+2{\sqrt {7}}}}}}\simeq 0,\!0635\;T}$,

soit, comme annoncé, un temps caractéristique de l'ordre de 23 jours pour les points de Lagrange de la Terre.

De la même façon, il existe des trajectoires périodiques dont la pulsation est donnée par les racines complexes de l'équation, soit

${\displaystyle \omega _{\rm {Traj}}=\omega {\sqrt {2{\sqrt {7}}-1}}}$,

c'est-à-dire une période de

${\displaystyle T_{\rm {Traj}}={\frac {T}{\sqrt {2{\sqrt {7}}-1}}}\simeq 0,\!4827\;T}$,

ce qui correspond à un temps de presque six mois pour les points de Lagrange de la Terre.