En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point, c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :

• d'une fonction polynomiale ;
• d'un reste négligeable au voisinage du point considéré.

En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation affine.

En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes. Ils permettent également l'obtention d'équivalents.

Soit f une fonction à valeurs réelles^[1] définie sur un intervalle I, et x₀ ∈ I. On dit que f admet un développement limité d'ordre n^[2] (abrégé par DL_n) en x₀, s'il existe n + 1 réels a₀, a₁, ..., a_n tels que la fonction ${\displaystyle R:I\to \mathbb {R} }$ définie par :

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+...+a_{n}(x-x_{0})^{n}+R(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}(x-x_{0})^{i}+R(x)}$ vérifie : R(x) tend vers 0 lorsque x tend vers x₀, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme, c'est-à-dire que : ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {R(x)}{(x-x_{0})^{n}}}=0.}$

Les fonctions R vérifiant ceci sont notées o((x – x₀)ⁿ) (voir l'article « Comparaison asymptotique », et plus précisément la famille des notations de Landau). On écrit donc :

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}(x-x_{0})^{i}+o((x-x_{0})^{n}).}$

Il est fréquent d'écrire un développement limité en posant x = x₀ + h :

${\displaystyle f(x_{0}+h)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}h^{i}+o(h^{n}).}$

Conséquences immédiates

• Si f admet un DL₀ en x₀, alors a₀ = f (x₀).
• Si f admet un DL_n en x₀, alors elle admet un DL_k en x₀ pour tout entier k < n.
• Une condition nécessaire et suffisante pour que f admette un DL_n en x₀ est l'existence d'un polynôme P tel que f(x) = P(x) + o((x – x₀)ⁿ). S'il existe un tel polynôme P, alors il en existe une infinité d'autres, mais un seul d'entre eux est de degré inférieur ou égal à n : le reste de la division euclidienne de P(X) par (X – x₀)^n+1[3]. On l'appelle la partie régulière, ou partie principale, du DL_n de f en x₀. On identifie parfois, par abus de langage^[2], le DL_n avec sa partie régulière.

Somme^[4]

Si f et g admettent deux DL_n en x₀, alors f + g admet un DL_n en x₀, dont la partie régulière s'obtient en sommant les deux parties régulières des DL_n de f et g.

Multiplication par un scalaire

Si f admet un DL_n en x₀, alors λf admet un DL_n en x₀, dont la partie régulière s'obtient en multipliant la partie régulière du DL_n de f par λ.

Produit^[4]

Si f et g admettent deux DL_n en x₀, de parties régulières respectives P et Q, alors fg et PQ admettent un DL_n en x₀, de même partie régulière.

Si x₀ = 0, cette partie régulière est le reste de la division euclidienne de PQ par Xⁿ⁺¹.

Inverse

Si u(x₀) = 0 et si u admet un DL_n en x₀, alors 1/1 – u admet un DL_n. La partie régulière de ce développement limité est celle du DL_n de ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}u^{k}}$ en x₀.

Quotient

On peut combiner le produit et l'inverse, ou faire une division suivant les puissances croissantes de la partie régulière du numérateur par celle du dénominateur.

Composition^[5]

Si u admet un DL_n en x₀ de partie régulière P et si v admet un DL_n en u(x₀) de partie régulière Q, alors v ∘ u et Q ∘ P possèdent un DL_n en x₀, de même partie régulière.

« Intégration »^[6]

Si f admet un DL_n en x₀, ${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}(x-x_{0})^{i}+o((x-x_{0})^{n})}$, alors toute primitive F de f admet un DL_{n + 1} en x₀ qui est

${\displaystyle F(x)=F(x_{0})+\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{i+1}}(x-x_{0})^{i+1}+o((x-x_{0})^{n+1}).}$

Dérivation

Il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un DL_n en x₀ pour la dérivée d'une fonction admettant un DL_{n + 1} en x₀.

Par exemple, en 0, la fonction x ↦ x³sin(1/x) – prolongée par 0 ↦ 0 – admet un DL₂ (il s'agit de 0 + o(x²)) mais sa dérivée n'admet pas de DL₁.

Par contre, comme déjà dit, si F ' admet un DL_n en x₀, alors la partie régulière de ce DL est la dérivée de la partie régulière du DL_{n + 1} de F en x₀.

Le théorème de Taylor-Young assure qu'une fonction f dérivable n fois au point x₀ (avec ${\displaystyle n\geq 1}$) admet un DL_n en ce point : ${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n})}$ soit en écriture abrégée ${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}(x-x_{0})^{i}+o((x-x_{0})^{n})}$.

On le démontre^[7] par récurrence sur n, grâce au théorème ci-dessus d'« intégration » terme à terme d'un DL.

L'existence d'un DL₀ en x₀ équivaut à la continuité en x₀, et l'existence d'un DL₁ en x₀ équivaut à la dérivabilité en x₀. En revanche, pour ${\displaystyle n\geq 2}$, l'existence d'un DL_n en x₀ n'implique pas que la fonction soit ${\displaystyle n}$ fois dérivable en x₀ (par exemple x ↦ x³sin(1/x) — prolongée par continuité en 0 — admet, en 0, un DL₂ mais pas de dérivée seconde).

Le développement d'ordre 0 en x₀ revient à écrire que f est continue en x₀ : ${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+o((x-x_{0})^{0})=f(x_{0})+o(1)}$

Le développement limité d'ordre 1 en x₀ revient à approcher une courbe par sa tangente en x₀ ; on parle aussi d'approximation affine : ${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+o(x-x_{0})}$. Son existence équivaut à la dérivabilité de la fonction en x₀.

Le développement limité d'ordre 2 en x₀ revient à approcher une courbe par une parabole, ou loi quadratique, en x₀. Il permet de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente au voisinage de x₀, pourvu que le coefficient du terme de degré 2 soit non nul : le signe de ce coefficient donne en effet cette position (voir également l'article fonction convexe).

Le changement de variable h = 1/x permet, à l'aide d'un DL₀ en 0, de chercher une limite à l'infini, et, à partir d'un DL₁ en 0, de déterminer l'équation d'une asymptote (comme pour la tangente, le DL₂ permet de préciser la position de la courbe par rapport à l'asymptote).

En faisant une approximation polynomiale de fonction en x₀, il devient possible, pour un calcul de limite en x₀, de lever une Forme indéterminée.

Les fonctions suivantes possèdent des DL_n en 0 pour tout entier n.

• ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}+{\frac {x^{n+1}}{1-x}}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}+o(x^{n})}$ (la première égalité se déduit du terme général de la série géométrique).
• ln(1 + x) ${\displaystyle =\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}+o(x^{m})}$ par intégration de la formule précédente pour n = m – 1, changement de x en –x et changement d'indice k = i + 1
• e^x ${\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}x^{k}+o(x^{n})}$ (en utilisant la formule de Taylor)
• sin ${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}+o(x^{2n+2})}$ à l'ordre 2n + 2. La partie principale du DL à l'ordre 2n + 1 est la même car le terme en x²ⁿ⁺² est nul (comme tous les termes d'exposant pair) et o(x²ⁿ⁺²) = o(x²ⁿ⁺¹).
• cos ${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}+o(x^{2n+1})}$ à l'ordre 2n + 1. La partie principale du DL à l'ordre 2n est la même, car le terme en x²ⁿ⁺¹ est nul (comme tous les termes d'exposant impair) et o(x²ⁿ⁺¹) = o(x²ⁿ).
• (1 + x)^a ${\displaystyle =1+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k!}}\left(\prod \limits _{l=0}^{k-1}(a-l)\right)x^{k}+o(x^{n}).}$

Ces exemples sont en outre développables en séries entières.

Plusieurs fonctions usuelles admettent un développement limité en 0, qui peuvent être utilisés pour développer des fonctions spéciales :

• (1 + x)^a ${\displaystyle =1+ax+{\frac {a(a-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {a(a-1)(a-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +{\frac {a(a-1)(a-2)...(a-(n-1))}{n!}}x^{n}+o(x^{n})}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots +x^{n}+o(x^{n})}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots +(-1)^{n}x^{n}+o(x^{n})}$
• ln ${\displaystyle (1-x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots -{\frac {x^{n}}{n}}+o(x^{n})}$
• ln ${\displaystyle (1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+o(x^{n})}$
• e^x ${\displaystyle =1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+o(x^{n})}$
• cos ${\displaystyle x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+o(x^{2n+1})}$
• sin ${\displaystyle x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}+o(x^{2n+2})}$
• tan ${\displaystyle x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots +{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}+o(x^{2n})}$, où les ${\displaystyle B_{n}}$ sont les nombres de Bernoulli.
• cosh ${\displaystyle x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots +{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+o(x^{2n+1})}$
• sinh ${\displaystyle x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots +{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}+o(x^{2n+2})}$
• tanh ${\displaystyle x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots +{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}+o(x^{2n})}$
• arcsin ${\displaystyle x=x+{\frac {x^{3}}{2\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 3\cdot x^{5}}{2\cdot 4\cdot 5}}+\cdots +{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\cdot (2n+1)}}+o(x^{2n+2})}$
• arccos ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{2\cdot 3}}-{\frac {1\cdot 3\cdot x^{5}}{2\cdot 4\cdot 5}}-\cdots -{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\cdot (2n+1)}}+o(x^{2n+2})}$
• arctan ${\displaystyle x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}+o(x^{2n+2})}$
• arsinh ${\displaystyle x=x-{\frac {x^{3}}{2\cdot 3}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)x^{2n+1}}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\cdot (2n+1)}}+o(x^{2n+2})}$
• artanh ${\displaystyle x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+\cdots +{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}+o(x^{2n+2})}$

On utilise fréquemment des développements limités d'ordre 1 (encore appelés « approximations affines », ou « approximations affines tangentes »), qui permettent de faciliter les calculs, lorsqu'on n'exige pas une trop grande précision ; ils sont donnés, au point x₀, par :

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f'(x_{0})+o(x-x_{0})}$

(on retrouve l'équation de la tangente au graphe de f).

En particulier, on a, au point 0 :

• ${\displaystyle (1+x)^{a}=1+ax+o(x)}$ et donc
  • ${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=1-x+o(x)}$ et
  • ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {x}{2}}+o(x)~;}$
• ${\displaystyle \ln {(1+x)}=x+o(x)~;}$
• ${\displaystyle {\rm {e}}^{x}=1+x+o(x).}$

• À l'ordre 2 :
  • ${\displaystyle \sin x=x+o(x^{2})}$, ${\displaystyle \arcsin x=x+o(x^{2})}$,
  • ${\displaystyle \tan x=x+o(x^{2})}$, ${\displaystyle \arctan x=x+o(x^{2})}$,ces formules étant souvent connues sous le nom d'approximations des petits angles, et
• à l'ordre 3 :${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+o(x^{3})}$.

• Série de Taylor
• Interpolation polynomiale
• Développement asymptotique

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