En arithmétique, une paire de Wieferich est une paire de nombres premiers q < p telle que q ^p–1 ≡ 1 (mod p²). Elle est dite doublement de Wieferich^[1] si de plus p ^q–1 ≡ 1 (mod q²). Cette notion est liée à la conjecture de Catalan, démontrée en 2002 par Preda Mihăilescu.

La plupart des sources^[1], même récentes^[2], affirment qu'on ne connait actuellement que six paires doublement de Wieferich : (2, 1 093), (3, 1 006 003), (5, 1 645 333 507), (83, 4 871), (911, 318 917) et (2 903, 18 787), oubliant une septième^[3] : (5, 188 748 146 801) (suites  A124121^[4],  A124122 et  A126432 de l'OEIS).

Un triplet de Wieferich est un triplet de nombres premiers p, q et r qui satisfont

p^q–1 ≡ 1 (mod q²), q^r–1 ≡ 1 (mod r²), et r^p–1 ≡ 1 (mod p²).

Il y a 13 triplets de Wieferich connus :

(2, 1093, 5), (2, 3511, 73), (3, 11, 71), (5, 20771, 18043), (5, 53471161, 193), (5, 6692367337, 1601), (5, 6692367337, 1699), (5, 188748146801, 8807), (13, 863, 23), (17, 478225523351, 2311), (41, 138200401, 2953), (83, 13691, 821) et (1657, 2281, 1667) (suites  A253683,  A253684 et  A253685 de l'OEIS).

Un n-uplet de Wieferich est une généralisation des paires et triplets de Wieferich. C'est un n-uplet (p₁, p₂, p₃, ..., p_n) de nombres premiers tel que

p₁^{p₂–1} ≡ 1 (mod p₂²), p₂^{p₃–1} ≡ 1 (mod p₃²), p₃^{p₄–1} ≡ 1 (mod p₄²), ..., p_n−1^p_n–1 ≡ 1 (mod p_n²), p_n^{p₁–1} ≡ 1 (mod p₁²).

Par exemple, (5, 188748146801, 453029, 53, 97, 76704103313, 4794006457, 12197, 3049, 41) est un 10-uplet de Wieferich.

Pour le plus petit n-uplet de Wieferich (en fonction de n), voir  A271100.

Les n-uplets de Wieferich sont aussi appelés suites de Barker^{[réf. nécessaire][5]}.

La suite de Wieferich (a_n)_n≥1 associée à un entier k > 1 est définie par a₁ = k et a_n+1 = le plus petit nombre premier p tel que a_n^p–1 = 1 (mod p) mais a_n≠ ±1 (mod p). On conjecture que la suite de Wieferich de tout entier k > 1 est périodique. Par exemple, la suite de Wieferich pour 2 :

2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., on obtient un cycle : {5, 20771, 18043} (un triplet de Wieferich).

La suite de Wieferich pour 83 :

83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ..., on obtient un cycle : {83, 4871} (une paire de Wieferich).

• Nombre premier de Wieferich

• (en) Reijo Ernvall et Tauno Metsänkylä, « On the p-divisibility of Fermat quotients Â», Math. Comp., vol. 66, n^o 219,‎ 1997, p. 1353-1365 (DOI 10.1090/S0025-5718-97-00843-0, MR 1408373, zbMATH 0903.11002, lire en ligne)
• (en) Ray Steiner, « Class number bounds and Catalan's equation Â», Math. Comp., vol. 67, n^o 223,‎ 1998, p. 1317-1322 (DOI 10.1090/S0025-5718-98-00966-1, MR 1468945, zbMATH 0897.11009, lire en ligne)

v Â· m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres