En mathématiques, la constante de Mills est définie comme étant le plus petit nombre réel A tel que la partie entière de A³ⁿ soit un nombre premier, pour tout entier n strictement positif. Sous l'hypothèse de Riemann,

${\displaystyle A=1{,}30637788386\ldots }$^[1],[2].

Il existe un nombre réel A, la constante de Mills, tel que, pour tout entier n > 0, la partie entière de A³ⁿ soit un nombre premier^[3].

Ce théorème a été démontré en 1947 par le mathématicien William H. Mills ; par la suite, plusieurs mathématiciens ont calculé le plus petit A convenable en supposant qu’il y a toujours un nombre premier entre deux cubes consécutifs, ce qui est une conséquence de l'hypothèse de Riemann^[2].

Les nombres premiers générés par la constante de Mills sont appelés les nombres premiers de Mills. Si l'hypothèse de Riemann est vraie, cette suite (f_n) est :

2, 11, 1 361, 2 521 008 887, 16 022 236 204 009 818 131 831 320 183, etc. (suite A051254 de l'OEIS),

ou encore : f_n+1 = f_n³ + b_n où la suite (b_n) est :

3, 30, 6, 80, 12, 450, 894, 3 636, 70 756, 97 220, 66 768, 300 840, etc. (suite  A108739).

Une analogue de la formule de Mills peut être obtenue en remplaçant la fonction plancher par la fonction plafond. En effet, Tóth ^[4] a montré en 2017 que la fonction définie par

${\displaystyle \lceil A^{r^{n}}\rceil }$

est également génératrice de nombres premiers pour ${\displaystyle r>2,106\ldots }$. Pour le cas ${\displaystyle r=3}$, la valeur de la constante ${\displaystyle A}$ commence par 1,24055470525201424067... Les nombres premiers générés sont alors:

${\displaystyle 2,7,337,38272739,56062005704198360319209,176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269,\ldots }$

Formules pour les nombres premiers

• (en) Eric W. Weisstein, « Mills' Constant », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Mills' Prime », sur MathWorld

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres