En mathématiques, la conjecture d'Oppermann est un problème non résolu sur la distribution des nombres premiers^[1]. Elle est étroitement liée, en étant plus forte, aux conjectures de Legendre, d'Andrica et de Brocard. Elle est nommée d'après le mathématicien danois Ludvig Oppermann, qui l'a posée en 1882^[2].

La conjecture stipule que, pour chaque entier x > 1, il y a au moins un nombre premier entre

x(x − 1) et x²,

et au moins un autre premier entre

x² et x(x + 1).

Elle peut être exprimée de manière équivalente en indiquant que la fonction de compte des nombres premiers doit prendre des valeurs inégales aux extrémités de chaque intervalle^[3]. C'est-à-dire:

π(x² − x) < π(x²) < π(x² + x) pour x > 1

avec π(x) étant le nombre de nombres premiers inférieur ou égal à x.

Si la conjecture est vraie, alors la taille de l'écart serait de l'ordre de

${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}\,}$.

Cela signifie également qu'il y aurait au moins deux premiers entre x² et (x + 1)² (un entre x² et x(x + 1) et l'autre entre x(x + 1) et (x + 1)²), renforçant la conjecture de Legendre selon laquelle il y a au moins un nombre premier entre x² et (x + 1)². Cela impliquerait aussi la véracité de la conjecture de Brocard selon laquelle il y a au moins quatre nombres premiers entre les carrés de nombres premiers impairs consécutifs. De plus, cela impliquerait que les plus grands écarts possibles entre deux nombres premiers consécutifs pourraient être au plus proportionnels au double de la racine carrée des nombres, comme le stipule la conjecture d'Andrica.

La conjecture implique également qu'au moins un premier peut être trouvé dans chaque quart de la révolution de la spirale d'Ulam.

Même pour les petites valeurs de x, les nombres de nombres premiers dans les rangs données par la conjecture sont beaucoup plus grands que 1, fournissant des preuves solides que la conjecture est vraie. Cependant, la conjecture d'Oppermann n'a pas été prouvée en 2018.

• Postulat de Bertrand
• Conjecture d'Andrica
• Conjecture de Firoozbakht
• Conjecture de Legendre
• Théorème des nombres premiers

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Oppermann's conjecture » (voir la liste des auteurs).

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres