En théorie des nombres, la conjecture d'Agoh-Giuga sur les nombres de Bernoulli ${\displaystyle B_{k}}$ énonce qu'un entier p est un nombre premier si, et seulement si :

${\displaystyle pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}\,.}$

(La notation ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {p}}}$ signifie ici que p divise le numérateur de ${\displaystyle a-b}$ mais pas le dénominateur de ${\displaystyle a-b}$.)

La condition de la conjecture est nécessaire car on sait, d'après le théorème de von Staudt-Clausen, que ${\displaystyle pB_{2m}\equiv -1{\pmod {p}}}$ pour tout nombre premier p tel que ${\displaystyle p-1}$ divise 2m et que ${\displaystyle 2B_{1}\equiv -1{\pmod {2}}\,}$.

La conjecture ainsi énoncée est due à Takashi Agoh. Une formulation équivalente due à Giuseppe Giuga est qu'un nombre p est premier si, et seulement si :

${\displaystyle 1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}\qquad (1)}$.

Voir l'article nombres de Giuga. L'équivalence entre les deux formulations est démontrée par Agoh^[1].

Dans la formulation de Giuga, une implication se déduit du petit théorème de Fermat. En effet, selon celui-ci, si p est un nombre premier, alors pour tout entier a entre 1 et p-1, la puissance p-1^e de a est congrue à 1 modulo p. La congruence (1) s'obtient en sommant ces relations. Giuga a démontré qu'un possible contre-exemple ${\displaystyle n}$ (c'est-à-dire un nombre composé vérifiant la congruence (1)) est un nombre de Carmichael^[2] ; il a vérifié la conjecture pour n < 10¹⁰⁰⁰  ; Edmondo Bedocchi l'a vérifié pour n < 10¹⁷⁰⁰ , et en 1996 Borwein et d'autres sont allés jusqu'à n < 10¹³⁸⁰⁰ . Laerte Sorini, enfin, dans un ouvrage de 2001, a montré qu'un contre-exemple éventuel devait être un nombre n supérieur à 10³⁶⁰⁶⁷ qui est la limite suggérée par Bedocchi pour des raisons techniques à la démonstration indiquée par Giuga à sa propre conjecture.

• (it) G. Giuga,« Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi » dans I° Lombardo Sci. Lett. Rend. A, 83 (1950), 511-528.
• (it) E. Bedocchi,« Nota ad una congettura sui numeri primi , Riv. Mat. Univ. Parma, (4) 11 (1985), 229-236.
• (en) T. Agoh, « On Giuga’s conjecture » dans Manuscripta Math. 87(4) (1995), 501-10.
• (en) D. Borwein, J. M. Borwein, P. B. Borwein and R. Girgensohn, « Giuga's Conjecture on Primality » dans Amer. Math. Monthly, 103, 40-50, (1996). pdf
• (it) L. Sorini, « Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga » dans Facoltà di Economia, Università degli Studi di Urbino Carlo Bo, Quaderni di Economia, Matematica e Statistica , n. 68, Ottobre (2001).
• (en) J. M. Borwein, M. Skerritt and C. Maitland, « Computation of a lower bound to Giuga's primality conjecture » dans Integers 13 (2013).

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres