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En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, la conjecture de Bateman-Horn (due à Paul T. Bateman et Roger A. Horn) est une vaste généralisation de conjectures telles que la conjecture de Hardy et Littlewood sur la densité des nombres premiers jumeaux ou leur conjecture sur les nombres premiers de la forme $n 2 + 1$ ; c'est aussi un renforcement de l'hypothèse H de Schinzel.

Énoncé

La conjecture prédit un équivalent asymptotique du nombre des entiers positifs en lesquels un ensemble donné de polynômes ont tous des valeurs premières. L'ensemble des $m$ polynômes irréductibles distincts à coefficients entiers $f 1, \dots, f m$ est tel que le produit $f$ de tous les polynômes $f i$ possède la propriété de Bunyakovsky : aucun nombre premier $p$ ne divise $f (n)$ pour chaque entier positif $n$ .

Si $P (x)$ est le nombre d'entiers positifs inférieurs à $x$ tel que tous les polynômes ont pour valeur un nombre premier, alors la conjecture est

P(x)\sim {\frac {C}{D}}\int _{2}^{x}{\frac {{\rm {d}}t}{(\log t)^{m}}}

,

où $C$ est le produit indexé par les nombres premiers $p$

C=\prod _{p}{\frac {1-N(p)/p}{(1-1/p)^{m}}}

avec $N (p)$ , nombre de solutions mod $p$ de $f(n)\equiv 0{\pmod {p}}$ où $f$ est le produit des polynômes $f i$ , et $D$ est le produit des degrés des polynômes.

Souvent, cette conjecture suppose que les polynômes $f i$ ont le coefficient du terme de plus haut degré positif. C'est une condition non nécessaire si l'on permet les nombres premiers négatifs (ce qui est raisonnable si l'on essaye de formuler la conjecture au-delà du cas classique des nombres entiers), mais en même temps, il est facile de remplacer les polynômes par leurs opposés si nécessaire pour se ramener au cas où les coefficients dominants sont positifs.

La propriété de Bunyakovsky implique

N(p)<p

pour tous les nombres premiers $p$ , donc chaque facteur dans le produit infini $C$ est strictement positif. Intuitivement, on peut alors espérer que la constante $C$ soit elle-même strictement positive, et avec un certain travail, ceci peut être démontré (mais ce travail est nécessaire, car un produit infini de nombres strictement positifs peut très bien être nul).

Exemples

Si le système est formé de l'unique polynôme $f 1 (x) = x$ , les valeurs de $n$ qui conviennent sont tout simplement les nombres premiers, et la conjecture se réduit au théorème des nombres premiers.

Si le système est formé des deux polynômes $f 1 (x) = x$ et $f 2 (x) = x + 2$ , les $n$ pour lesquels $f 1 (n)$ et $f 2 (n)$ sont premiers correspondent aux nombres premiers jumeaux. La conjecture de Bateman–Horn se réduit dans ce cas à la conjecture de Hardy-Littlewood affirmant que la densité des nombres premiers jumeaux est

\pi _{2}(x)\sim 2\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}\approx 1{,}32{\frac {x}{(\log x)^{2}}}

.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bateman–Horn conjecture » (voir la liste des auteurs).
(en) Paul T. Bateman et Roger A. Horn, « A heuristic asymptotic formula concerning the distribution of prime numbers », Mathematics of Computation, vol. 16,‎ 1962, p. 363-367 (lire en ligne)
(en) Andrew Granville, Analytic Number Theory, page 13, item (15)
(en) Soren Laing Alethia-Zomlefer, Lenny Fukshsky et Stephan Ramon Garcia, « One conjecture to rule them all: Bateman-Horn », arXiv,‎ 25 juillet 2018, p. 1-45 (lire en ligne, consulté le 25 juillet 2018)