La matrice des transpositions Tr(X) est une matrice carrée de taille n égale à une puissance entière de 2, dont chaque élément Tr(X)ij contient un des éléments {x} d'un vecteur X donné de taille n dont l'indice est égal à un plus la multiplication binaire OU exclusif (XOR) du numéro de ligne i moins un et du numéro de colonne j moins un de l'élément Tr(X)ij.

Ainsi, la formule par laquelle les éléments de la matrice Tr(x) sont calculés est donc la suivante : ${\displaystyle Tr(X)_{i,j}=x_{1+(i-1)\oplus (j-1)}}$ où ${\displaystyle i,j\in [1,n]}$ et le symbole ${\displaystyle \oplus }$ représente l'opération OU exclusif (XOR)

Par exemple, la matrice de transpositions ${\displaystyle Tr(X)}$ obtenue à partir d'un vecteur

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}\\\end{pmatrix}}}$

a la forme suivante :

${\displaystyle Tr(X)={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&|&x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}&|&x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}&|&x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}&|&x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}\\-&-&-&-&|&-&-&-&-\\x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}&|&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}&|&x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}&|&x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}&|&x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}}$.

Une paire arbitraire de lignes (ou paire de colonnes) d'une matrice de transpositions Tr contient ${\displaystyle n/2}$ quadruples d'éléments avec des valeurs égales des éléments diagonaux. Par exemple, si ${\displaystyle Tr_{p,q}}$ et ${\displaystyle Tr_{u,q}}$ sont deux éléments choisis au hasard dans la même colonne ${\displaystyle q}$ de la matrice ${\displaystyle Tr}$, alors il découle de cette propriété que ${\displaystyle Tr}$-la matrice contient un quadruple d'éléments ${\displaystyle (Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})}$, pour lesquels sont satisfaites les équations ${\displaystyle Tr_{p,q}=Tr_{u,v}}$ et ${\displaystyle Tr_{u,q}=Tr_{p,v}}$. Cette propriété « propriété des quadruples » est spécifique aux matrices ${\displaystyle Tr}$.

• La matrice ${\displaystyle Tr}$ е une matrice symétrique.
• La matrice ${\displaystyle Tr}$ е une matrice persymétrique c'est-à-dire qu'elle est également symétrique par rapport à sa deuxième diagonale.

La propriété des quadruples permet d'obtenir à partir d'une matrice de transpositions ${\displaystyle Tr}$ une matrice dont les lignes sont mutuellement orthogonales ${\displaystyle Trs}$ en changeant le signe d'un nombre impair d'éléments dans chacun des quadruples ${\displaystyle (Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})}$, ${\displaystyle p,q,u,v\in [1,n]}$. Il existe un algorithme pour construire ${\displaystyle Trs}$ une matrice à l'aide de Produit de Hadamard de la matrice ${\displaystyle Tr}$ et une matrice de Hadamar à n dimensions ${\displaystyle H=(h_{ij})}$ dont les lignes (à l'exception de la première) sont réorganisées de manière que les lignes de la matrice résultante ${\displaystyle Trs}$ soient mutuellement orthogonales entre elles :

${\displaystyle Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)}$

${\displaystyle Trs.{Trs}^{T}=\parallel X\parallel ^{2}.I_{n}}$

où:

«${\displaystyle \circ }$» est le produit de Hadamard,

${\displaystyle I_{n}}$ est une matrice unitaire,

${\displaystyle H(R)}$ est une matrice de Hadamard à n dimensions avec permutation des lignes ${\displaystyle R=[1,r_{2},...r_{n}]^{T},r_{2},...r_{n}\in [2,n]}$ modifie le signe d'un nombre impair d'éléments dans chacun des quadruples;

${\displaystyle X}$ est le vecteur dont les éléments sont dérivés par la matrice ${\displaystyle Tr}$.

L'ordre ${\displaystyle R}$ des lignes de la matrice de Hadamard a été obtenu expérimentalement pour les matrices ${\displaystyle Trs}$ de taille 2, 4 et 8. L'ordre ${\displaystyle R}$ des lignes de la matrice de Hadamar (par rapport à la matrice de Sylvester-Adamar) ne dépend pas du vecteur ${\displaystyle X}$. Il a été prouvé que^[1], si ${\displaystyle X}$ est un vecteur unitaire (${\displaystyle \parallel X\parallel =1}$), alors ${\displaystyle det(Trs)=-1}$ .

Matrice de transposition avec des lignes mutuellement orthogonales ${\displaystyle Trs(X)}$ pour ${\displaystyle n=4}$ est obtenue à partir du vecteur ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\\\end{pmatrix}}}$ par la formule suivante :

${\displaystyle Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&-x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{pmatrix}}}$,

où ${\displaystyle Tr(X)}$ — ${\displaystyle Tr}$ est la matrice obtenue à partir du vecteur ${\displaystyle X}$, H(R) est une matrice de Hadamar dont les lignes sont décalées dans l'ordre donné R, pour laquelle les lignes des matrices Trs résultantes sont mutuellement orthogonales. La première ligne de la matrice ${\displaystyle Trs(X)}$ résultante contient les éléments du vecteur ${\displaystyle X}$ sans permutations ni changements de signe. Compte tenu du fait que les lignes de la matrice ${\displaystyle Trs}$ sont mutuellement orthogonales:

${\displaystyle Trs(X).X=\parallel X\parallel ^{2}.[1,0,0,0]^{T}}$,

la matrice ${\displaystyle Trs}$ fait donc tourner le vecteur ${\displaystyle X}$, dont elle est issue, dans la direction de l'axe ${\displaystyle x_{1}}$. L'ordre ${\displaystyle R}$ des lignes de la matrice de Hadamar ne dépend pas du vecteur ${\displaystyle X}$. Des exemples de génération de matrices ${\displaystyle Tr}$ et ${\displaystyle Trs}$ pour ${\displaystyle n=2,4,8}$ ont été publiés. La question reste ouverte de savoir s'il est possible de générer des matrices Trs de taille supérieure à 8.

1. D. A. Harville, Matrix Algebra from Statistician’s Perspective, Softcover, 1997
2. L. D. Baumert et Marshall Hall, « Hadamard matrices of the Williamson type », Math. Comp., vol. 19, n^o 91,‎ 1965, p. 442–447 (DOI 10.1090/S0025-5718-1965-0179093-2 , MR 0179093)
3. O. I. Zhelezov, Determination of a Special Case of Symmetric Matrices and Their Applications, Current Topics on Mathematics and Computer Science Vol. 6, 29–45, 2021 (ISBN 978-93-91473-89-1)

• (en) Rob Beezer, A First Course in Linear Algebra, sous licence GFDL
• (en) Jim Hefferon, Linear Algebra
• (en) Marie A. Vitulli, A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory
• http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html

v · m Matrices
Forme	Carrée À bande Triangulaire Diagonale Tridiagonale Élémentaire Échelonnée Creuse Aléatoire Circulante Hankel Toeplitz Vandermonde Hessenberg
Transformée	Transposée Conjuguée Adjointe Inverse Comatrice
Relation	équivalentes semblables congruentes
Propriété	Inversible Diagonalisable Semi-simple Trigonalisable Symétrique Antisymétrique Hermitienne Normale Orthogonale Unitaire Symplectique de Hadamard Autoadjointe positive Définie positive Diagonale dominante Nilpotente
Famille	Nulle Identité Vide De Casteljau Cartan Hilbert Mueller Lehmer Pauli Dirac Householder
Associée	Permutation Passage Compagnon Sylvester Adjacence Laplacienne Hessienne Jacobienne Génératrice Contrôle Corrélation Gram Variance-covariance Inertie Jones Gains Stochastique
Résultats	Décompositions LU QR Cholesky Schur Polaire Valeurs singulières Diagonalisation Trigonalisation Réduction de Jordan Facteurs invariants
Articles liés	CKM Théorie des matrices Algèbre linéaire Algèbre multilinéaire Addition matricielle Palette incluant la multiplication des matrices

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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