Chris Vui a commencé sa carrière professionnelle en 2014 avec la province de North Harbour en NPC (championnat des provinces néo-zélandaises)[5]. Il ne dispute aucun match lors de sa première saison, notamment en raison d'une blessure[2],[6]
Au cours de la saison 2015 de Super Rugby, il est appelé par la franchise des Blues pour pallier de nombreuses blessures dans l'effectif[7]. Il fait ses débuts en Super Rugby le en étant sur banc face aux Crusaders[7]. Il connait sa première titularisation au poste de troisième ligne aile la semaine suivante, lors de la dernière journée de la saison[8]. Il n'obtient cependant pas de contrat pour la saison suivante[9].
Avec North Harbour, il est nommé capitaine pour la saison 2016 de NPC[10]. Au terme de la saison, il remporte avec son équipe le Championship (deuxième poule du NPC) après la finale remportée contre Otago[11].
En décembre 2016, il rejoint le club anglais des Worcester Warriors qui évolue en Premiership jusqu'à la fin de la saison en cours[12].
La saison suivante, il rejoint Bristol Rugby, qui viennent d'être relégués en RFU Championship (2e division anglaise) et participe à leur remontée immédiate en Premiership pour la saison 2018-2019[13],[14]. Après une première saison où s'impose comme un cadre du club, il prolonge son contrat jusqu'en 2022[15]. En , il prolonge à nouveau son contrat, cette fois pour quatre saisons supplémentaires, portant son engagement jusqu'en 2026[16].
