質數階乘質數 （又稱素數階乘質數 或質數階乘素數 ）是和某个質數階乘 相邻的質數 ，即它是某个質數階乘 的增一或減一。
pn 的質數階乘 記作pn #。pn # − 1是質數，對n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ... （OEIS 數列A057704 ）pn # + 1是質數，對n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, ...（A014545 ）前幾個質數階乘質數是：
3 , 5 , 7 , 29 , 31 , 211 , 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209截至2022年，已知的最大质数阶乘质数是 3267113#-1 ，它有 1418398 位数，由PrimeGrid [ 1]
質數是無限的 。
首先，假設前n個質數是唯一存在的質數。如果pn # + 1或pn # − 1是質數階乘質數，這意味著有比第n個質數更大的質數（即使不是質數，也能證明質數無窮，但不那麼直接。這兩個數除以前n個中的任何一個質數 p 時，都有餘數 1 或 p −1 ，因此不整除其中任何一數）。
事實上，歐幾里得 的證明 並沒有假設一個有限集合包含所有質數的存在。相反，他說：
consider any finite set of primes
(not necessarily the first n primes;
e.g. it could have been the set {3, 11, 47}),
and then went on from there to the conclusion
that at least one prime exists that is not in that set.
意思是：
考慮任何質數的有限集合 （不一定是一開始的質數，例如，它可以是集合{3，11，47}），然後從兩個方面得到這樣的結論：至少存在一個不在該集合的質數。[1] （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）[ 2]
A. Borning, "Some Results for
k
!
+
1
{\displaystyle k!+1}
2
⋅ ⋅ -->
3
⋅ ⋅ -->
5
⋅ ⋅ -->
p
+
1
{\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot p+1}
Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.
Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial 页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） at The PrimePages
埃里克·韦斯坦因 . Primorial Prime . MathWorld . Harvey Dubner, "Factorial and Primorial Primes." J. Rec. Math. 19 (1987): 197 - 203.
Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records . New York: Springer-Verlag (1989): 4.
^ Primegrid.com （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）; official anouncement, 24 December 2010^ A. Borning, "Some Results for
k
!
+
1
{\displaystyle k!+1}
2
⋅ ⋅ -->
3
⋅ ⋅ -->
5
⋅ ⋅ -->
p
+
1
{\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot p+1}
Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.
