四库全书海岛算经 《周髀算经 》的《日高图》 《古今图书集成》窥望海岛之图 《海岛算经 》是三国 时代魏国 数学家 刘徽 所著的测量学 著作，原为《刘徽九章算术 注》第九卷勾股 章内容的延续和发展，名为《九章重差图》，附于《刘徽九章算术注》之后作为第十章。唐代 将《重差 》从《九章》分离出来，单独成书，按第一题“今有望海岛”，取名为《海岛算经》，是《算经十书 》之一。
刘徽《海岛算经》“使中国测量学 达到登峰造极的地步”[ 1] [ 2]
重差理论起源于《周髀算经 》的《日高图》“以表高乘两表相去为黄甲之实。以影差为黄乙之广而一，所得则变为黄乙之袤，上与日齐。”
刘徽在《九章算术 ·序》中，进一步发展了重差术：“凡望極高、測絕深，而兼知其遠者必用重差、句股，則必以重差為率，故曰重差 也。立兩表於洛陽之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之時，以景差為法，表高乘表間为實，實如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句、股，為之求弦，即日去人也。”
日去地=
H
∗ ∗ -->
D
d
{\displaystyle H*D \over d}
+
H
{\displaystyle +H}
南戴日下= 南表景 *
D
d
{\displaystyle D \over d}
其中H为表高，D为表间，d为景差。
《海岛算经》共九问。都是用表尺重复从不同位置测望，取测量所得的差数，进行计算从而求得山高或谷深，这就是刘徽的重差理论。《海岛算经》中，从题目文字可知所有计算都是用筹算 进行的。“为实”指作为一个分数的分子，“为法”指作为分数的分母。所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸；１里＝180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。
今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表三相直。从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末三合。从后表却行一百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末三合。问岛高及去表各几何？ 答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。 术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表里数。
望海岛二次测量示意图 由于前表去岛的距离不能直接测量，刘徽用同样高度的表杆前后测量，表杆与地面垂直，人眼贴地，望表杆顶和岛上山顶对齐，这时测得人眼和前表杆的水平距离叫“前表却行”DG=123步；再将表杆往后移动，两表杆间距称为“表间”=1000步，依法测出“后表却行”FH=127步。
表高 =CD
前表却行=DG
后表却行=FH
相多=FH-DG
表间=DF
岛高=AB
前表去岛远近=BD 依法得岛高 AB=
C
D
× × -->
D
F
F
H
− − -->
D
G
+
C
D
{\displaystyle {\tfrac {CD\times DF}{FH-DG}}+CD}
依法得前表去岛远近 BD=
D
G
× × -->
D
F
F
H
− − -->
D
G
{\displaystyle {\tfrac {DG\times DF}{FH-DG}}}
松生山上三次测量示意图
今有望松生山上，不知高下。立两表齐，高二丈，前后相去五十步，令后表与前表三相直。从前表却行七步四尺，薄地遥望松末，与表端三合。又望松本，入表二尺八寸。复从后表却行八步五尺，薄地遥望松末，亦与表端三合。问松高及山去表各几何？ 答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。术曰：以入表乘表间为实。相多为法，除之。加入表，即得松高。求表去山远近者：置表间，以前表却行乘之为实。相多为法，除之，得山去表。
CD EF 表示前后两支表杆，前表杆有刻度，用作两次测量，第一次从G点瞄准A、C两点成直线，第二次从G点校准树根J，读出前表杆上度数（入表）。
表高 =CD=2丈
前表却行=DG=7步4尺
后表却行=FH=8步5尺
相多=FH-DG
表间=DF=50步
松高=AJ
前表去山远近=BD
入表=CK=二尺八寸 松高=AJ=
C
K
× × -->
D
F
(
F
H
− − -->
D
G
)
+
C
K
{\displaystyle {\tfrac {CK\times DF}{(FH-DG)}}+CK}
前表去山远近=BD=
D
F
× × -->
D
G
(
F
H
− − -->
D
G
)
{\displaystyle {\tfrac {DF\times DG}{(FH-DG)}}}
《海岛算经》今有南望方邑示意图
今有南望方邑，不知大小。立两表东、西去六丈，齐人目，以索连之。令东表与邑东南隅及东北隅三相直。当东表之北却行五步，遥望邑西北隅，入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表一十三步二尺，遥望邑西北隅，适与西表相三合。问邑方及邑去表各几何？ 答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步。 术曰：以入索乘后去表，以两表相去除之，所得为景差；以前去表减之，不尽以为法。置后去表，以前去表减之，余以乘入索为实。实如法而一，得邑方。求去表远近者：置后去表，以景差减之，余以乘前去表为实。实如法而一，得邑去表。
由于待测的方城宽度AB，在东西方向，与地面平行，因此两支在C点D点插入地面与地面垂直的表杆，在此不用作直接测量，测量是依靠一根拴在C、D两根垂直表杆中间的一条水平测量绳索CD完成的。此题中一根水平测量绳作两次测量用。
景差 =入表* 后去表/ 表相去。
今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺。从勾端望谷底，入下股九尺一寸。又设重矩于上，其矩间相去三丈。更从勾端望谷底，入上股八尺五寸。问谷深几何？答曰：四十一丈九尺。术曰：置矩间，以上股乘之，为实。上、下股相减，余为法，除之。所得以勾高减之，即得谷深。
山谷深=（距间 × 上股）/（下股-上股）-句高。
今有登山望楼，楼在平地。偃矩山上，令句高六尺。从句端斜望楼足，入下股一丈二尺。又设重矩于上，令其间相去三丈。更从句端斜望楼足，入上股一丈一尺四寸。又立小表于入股之会，复从句端斜望楼岑端，入小表八寸。问楼高几何？ 答曰：八丈。 术曰：上下股相减，余为法；置矩闲，以下股乘之，如句高而一。所得，以入小表乘之，为实。实如法而一，即是楼高。
楼高=（距间 * 下股）* （入小表）/句高/（下股-上股）。
《海岛算经》东南望波口示意图
今有东南望波口，立两表南、北相去九丈，以索薄地连之。当北表之西却行去表六丈，薄地遥望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表里一丈二尺。又却后行1去表一十三丈五尺。薄地遥望波口南岸，与南表三合。问波口广几何？答曰：一里二百步。 术曰：以后去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表减之，余以为法；复以前去表减后去表，余以乘入所望表里为实，实如法而一，得波口广。
此题中一根水平测量绳，作三次测量用。
望清渊示意图
今有望清渊，渊下有白石。偃矩岸上，令句高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又设重矩于上，其间相去四尺。更从句端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。问水深几何？ 答曰：一丈二尺。 术曰：置望水上下股相减，余以乘望石上股为上率。又以望石上下股相减，余以乘望水上股为下率。两率相减，余以乘矩间为实；以二差相乘为法。实如法而一，得水深。又术：列望水上下股及望石上下股，相减，余为法。以望石下股减望水下股，余以乘矩间为实，实如法而一，得水深。
A标志水岸，S标志白石，C标志岸边；句是古代测量用具之一，有两个边成直角（如今三角板）：使用时句的一边务必与地面垂直。此题用两个句，一个在C，一个在D，各测量水岸和水底白石。此题用四次测望术。
今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令句高一丈二尺。从句端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股里一丈八寸。更登高岩北，却行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更从句端斜望津南岸，入上股二丈二尺。问津广几何？ 答曰：二里一百二步。 术曰：以句高乘下股，如上股而一。所得以句高减之，余为法；置北行，以句高乘之，如上股而一。所得以减上登，余以乘入股里为实。实
如法而一，即得津广。
今有登山临邑，邑在山南。偃矩山上，令勾高三尺五寸。令勾端与邑东南隅及东北隅三相直。从勾端遥望东北隅，入下股一丈二尺。又施横勾于入股之会，从立勾端望西北隅，入横勾五尺。望东南隅，入下股一丈八尺。又设重矩于上，令矩间相去四丈。更从立勾端望东南隅，入上股一丈七尺五寸。问邑广长各几何？ 答曰：南北长一里一百步；东西广一里三十三步、少半步。术曰：以勾高乘东南隅入下股，如上股而一，所得减勾高，余为法；以东北隅下股减东南隅下股，余以乘矩间为实。实如法而一，得邑南北长也。求邑广：以入横勾乘矩间为实。实如法而一，即得邑东西广。
此题用四次测望术[ 3]
秦九韶 《数书九章 》《表望浮屠》 南北朝 数学家祖冲之 曾为《九章重差图》作注。唐朝 将《九章重差图》从《刘徽九章算术注》中分离出来单独成书，以第一题“今有望海岛”取名为《海岛算经》。唐高宗 显庆 元年（656年）数学家李淳风 等注释《算经十书》，作为国子监学习和考试用书，《海岛算经》就是《算经十书》之一，并且规定《海岛算经》的学习期限为三年，是其他算经学习期限的三倍[ 4] 北宋 元丰 七年（1084年）和南宋 宁宗 嘉定 六年（1213年）先后刻印两次。但宋刻本《海岛算经》后来遗失。南宋 秦九韶 研究过类似于海岛算经的测量书题目《表望浮屠》，南宋数学家杨辉 《续古摘奇算法 》讨论了四种测量问题，包括来自《海岛算经》海岛题，并指出“登高望松，遥望波口，非三望之术乎？清渊白石、登山临邑，非四望之术乎？”。明 永乐 年间收入《永乐大典 》，但只存刘徽文字和李淳风注，刘徽原图和刘徽所作的注释已不存。元朝 数学家朱世杰 《四元玉鉴 》《勾股测望 》门第四，六，七，八等四问用天元术 阐述《海岛算经》的《望海岛》，《望深谷》，《南望方邑》，《望清渊》。清 乾隆 时代，经学家戴震 将《海岛算经》文字，从《永乐大典》中辑录出来收入《四库全书 》[ 5] 李潢 著《海岛算经细草图说》，沈钦裴著《重差图说》，均以欧几里德几何学论证，已失刘徽原意[ 6] 李俨 《重差 术流源及其新注》[ 7] [ 8] [ 9]
近年中国数学家白尚恕 [ 10] 吴文俊 院士论文《我国古代测望之学重差理论评介兼评数学史研究中的某些方法问题》[ 6] [ 11] 出入相补 原理为基础，才能还原《海岛算经》的本来面目。
《海岛算经》在唐代传入朝鲜 、日本 。最早向西方介绍《海岛算经》的是19世纪来华传教士 伟烈亚力 。他1852年在《北华捷报》（North China Herald，《字林西报》前身）发表的论文：《中国数学科学札记》（Jottings on the Sciences of Chinese Mathematics）。伟烈亚力在文中介绍了《海岛算经》，说此书是“一部关于实用三角学 的九个问题”。1913年日本数学史家三上义夫 在其英文著作《中国与日本数学的发展 》[ 12] [ 13] 英文 。此外还有日文 翻译本和俄文 翻译本。
3世纪刘徽《海岛算经》运用二次、三次、四次测望法，是测量学历史上领先的创造。中外学者对《海岛算经》的成就，给予很高的评价。《海岛算经》的英译者和研究者，美国数学家弗兰克·斯委特兹，在比较西欧测量学从古代希腊 、罗马 直到文艺复兴 时期的发展，认为希腊测量术，重点在测量器具的运用，而其数学水准远不如刘徽《海岛算经》，直到文艺复兴时代，才差强达到《海岛算经》水准。他还指出17世纪初意大利 来华传教士利玛窦 和中国徐光启 合著的《测量法义》十五题，并未能达到或超越《海岛算经》。他结论；“简而言之，在测量数学领域，中国人的成就，超越西方世界约一千年。[ 14]
《中国数学大系》一书中评价《海岛算经》：“使中国测量学达到登峰造极的地步。在西欧直到16，17世纪，才出现二次测量术的记载，到18世纪，才有了三、四次测量之术，可见中国古代测量学的意境之深，功用之广”[ 15]
（法）L. van Hee: Le Classique de l'Île Maritime: Ouvrage Chinois de III siècle 1932。
（美）Frank J. Swetz: The Sea Island Mathematical Manual, The Pennsylvania State University Press, 1992 ISBN 0-271-00799-0
（日）川原秀成译 《海岛算经》
（俄）别辽姿金娜译 《海岛算经》 1974年
^ 引自吴文俊 主编 《中国数学史大系 》第三卷 248页 ISBN 7-303-04557-0 /O
^ "Quite Simply, in the endeavors of mathematical surveying, China's accomplishments exceeded those realized in the West by about one thousand years", 見 弗兰克·斯委特兹: 《海岛算经:古代中国的测量学 和数学》第四章第二节 比较回顾： 中国测量学 的成就。（Frank J. Swetz: The Sea Island Mathematical Manual,Surveying and Mathematics in Ancient China 4.2 Chinese Surveying Accomplishments, A Comparative Retrospection 第63页 The Pennsylvania State University Press, 1992 ISBN 0-271-00799-0 ）
^ 关于此题的讨论详见吴文俊 主编 《中国数学大系》第三卷 247-248 ISBN 7-303-04557-0 /O
^ Frank J. Swetz: The Sea Island Mathematical Manual, P9 The Pennsylvania State
University Press, 1992 ISBN 0-271-00799-0
^ Frank J. Swetz: The Sea Island Mathematical Manual, P13 The Pennsylvania State University Press, 1992 ISBN 0-271-00799-0
^ 6.0 6.1 吴文俊 《我国古代测望之学重差理论评介兼评数学史研究中的某些方法问题》 《吴文俊文集》 12-73 山东教育出版社 1986
^ 李俨《[重差术流源及其新注》《李俨.钱宝琮科学史全集》卷10
^ 李俨《中国古代中算家的测绘术》《李俨.钱宝琮科学史全集》卷10
^ 李俨 《海岛算经新注》 《中国古代数学史料》 中国科学图书仪器公司 1954
^ 白尚恕 《刘徽海岛算经造术的探讨》 《白尚恕文集 中国数学史研究》 73-82 北京师范大学出版社 2008 ISBN 978-7-303-09242-0
^ 吴文俊 《海岛算经古证探源》 《吴文俊文集》 54-72
^ Mikami, Yoshio:The Development of Mathematics in China and Japan 1913
^ L. van Hee: Le Classique de l'Île Maritime: Ouvrage Chinois de III siècle 1932
^ Frank J. Swetz: The Sea Island Mathematical Manual, The Pennsylvania State University Press, p63 1992 ISBN 0-271-00799-0
^ 引自吴文俊 主编 《中国数学大系》第三卷 东汉三国 243-248 ISBN 7-303-04557-0 /O
