Народився 21 липня1901 року в місті Будапешт. Вихованець футбольної школи клубу «Гонвед». Дорослу футбольну кар'єру розпочав 1923 року в основній команді того ж клубу, в якій провів два сезони.
1933 року знову відправився за кордон, де спочатку недовго пограв за французький «Ам'єн», а 1934 року перейшов до португальської «Боавішти», де і завершив кар'єру футболіста у 1935 році.
Розпочав тренерську кар'єру відразу ж по завершенні кар'єри гравця, 1935 року, очоливши тренерський штаб клубу «Порту». З цією командою Бірі виграв чемпіонат Порту[en] і став віце-чемпіоном Португалії у своєму єдиному сезоні.
Згодом після короткого часу в клубі «Академіку»[en], він був найнятий президентом «Бенфіки», Аугушту да Фонсекою, де угорець провів вісім сезонів. За цей час клуб тричі ставав чемпіоном Португалії і стільки ж разів вигравав національний кубок[6]. У сезоні 1939/40 «Бенфіка», вигравши кубок, стала також чемпіоном Лісабона, а три роки потому поєднала перемогу в кубку з виграшем чемпіонату країни, зробивши таким чином «золотий дубль». Загалом він керував командою у 272 матчах чемпіонату, становивши тренерський рекорд клубу, який було побито лише 2014 року Жорже Жезушем[7].
Після відходу з «Бенфіки» Бірі до 1966 року тренував різні клуби Португалії, але значних успіхів з ними не домагався[8].