Знаходження первісної чи інтеграла для довільних функцій — справа значно складніша, ніж диференціювання, тобто пошук похідної. Представити інтеграл довільної функції в елементарних функціях не завжди неможливо. Тому існує набір методів для пошуку інтеграла окремих груп функцій.

Використовується таблиця інтегралів.

Цей метод містить два прийоми.

a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді має місце рівність: ${\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f[\varphi (t)]{\dot {\varphi }}(t)\,dt}$

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба, щоб функція х — φ (t) мала обернену t = ψ(х).

Приклад. Знайти інтеграл ${\displaystyle I=\int {\frac {x^{2}dx}{\sqrt {25-x^{2}}}}}$

Розв'язування. Зробимо підстановку ${\displaystyle x=5\sin t}$, тоді

${\displaystyle {\sqrt {25-x^{2}}}={\sqrt {25-25\sin ^{2}t}}=5\cos t,dx=(5\sin t)'=5\cos tdt}$

Отже, одержимо

${\displaystyle I=\int {\frac {25\sin ^{2}t\cdot 5\cos tdt}{5\cos t}}=25\int \sin ^{2}tdt={\frac {25}{2}}\int (1-\cos 2t)dt={\frac {25}{2}}(\int \,dt-\int \cos 2t\,dt)={\frac {25}{2}}t-{\frac {25}{4}}\sin 2t+C}$

Із рівності ${\displaystyle x=5\sin t}$ одержимо ${\displaystyle t=\arcsin(x/5);}$

${\displaystyle \sin 2t=2\sin t\cos t=2{\frac {x}{5}}\cdot {\frac {1}{5}}{\sqrt {25-x^{2}}}}$
${\displaystyle I={\frac {25}{2}}\arcsin {\frac {x}{5}}-{\frac {25}{4}}\cdot {\frac {2x}{25}}{\sqrt {25-x^{2}}}+C}$
Отже, ${\displaystyle I={\frac {25}{2}}\arcsin {\frac {x}{5}}-{\frac {x}{2}}{\sqrt {25-x^{2}}}+C}$

b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = φ (х) тоді має місце рівність: ${\displaystyle \int f[\varphi (x)]\varphi ^{'}(x)dx=\int f(t)dt}$

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = φ (х).

Приклад. Знайти ${\displaystyle \int x{\sqrt {x-3}}\,dx}$

Розв'язування. Нехай ${\displaystyle {\sqrt {x-3}}=t}$ тоді ${\displaystyle x-3=t^{2}\Rightarrow x=3+t^{2},dx=2tdt}$.

${\displaystyle \int x{\sqrt {x-3}}\,dx=\int (t^{2}+3)t\cdot 2tdt=2\int (t^{4}+3t^{2})dt=2\int t^{4}dt+6\int t^{2}dt={\frac {2}{5}}t^{5}+{\frac {6}{3}}t^{3}+C={\frac {2}{5}}{\sqrt {(x-3)^{5}}}+2{\sqrt {(x-3)^{2}}}+C}$

Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, і хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).

Нехай u та v деякі функції х, тобто ${\displaystyle u=u(x),v=v(x)}$.

Розглянемо диференціал добутку цих функцій.

${\displaystyle d(uv)=udv+vdu}$

Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо ${\displaystyle \int d(u\cdot v)=\int u\,dv+\int v\,du}$

Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо

${\displaystyle u\cdot v=\int u\,dv+\int v\,du}$

Отже, одержали формулу ${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du}$

яку називають формулою інтегрування частинами.

Ця формула дозволяє звести пошук інтеграла ${\displaystyle \int u\,dv}$ до пошуку інтеграла ${\displaystyle \int v\,du}$. Якщо вдало обрати u та dv, інтеграл може бути табличним або простішим, ніж початковий інтеграл ${\displaystyle \int u\,dv}$

Приклад. Знайти ${\displaystyle \int \ln x\,dx}$

Розв'язування. Нехай ${\displaystyle u=\ln x,\ v=x,\ dv=dx,\ du/dx=d(lnx)/dx=1/x,\ du=d(lnx)=dx/x.}$

За формулою інтегрування частинами одержимо

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+C}$

Невизначений інтеграл будь-якого раціонального дробу на будь-якому проміжку, де знаменник дробу не обертається в нуль, існує і подається через елементарні функції, а саме: він є алгебраїчною сумою суперпозиції раціональних дробів, арктангенсів і раціональних логарифмів.

Сам метод полягає в розкладанні раціонального дробу на суму найпростіших.

Усякий правильний раціональний дріб ${\displaystyle {\tfrac {P(x)}{Q(x)}}}$, знаменник якого розкладено на множники

${\displaystyle Q(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\cdot ...\cdot (x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{s_{1}}\cdot ...\cdot (x^{2}+p_{m}x+q_{m})^{s_{m}}}$ можна подати (лише єдиним способом) у виді наступної суми найпростіших дробів:
${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {A_{1}}{x-x_{1}}}+{\frac {A_{2}}{(x-x_{1})^{2}}}+\dots +{\frac {A_{k_{1}}}{(x-x_{1})^{k_{1}}}}+{\frac {B_{1}}{(x-x_{2})}}+{\frac {B_{2}}{(x-x_{2})^{2}}}+\dots +{\frac {B_{k_{2}}}{(x-x_{2})^{k_{2}}}}+\dots }$ ${\displaystyle +{\frac {C_{1}x+D_{1}}{x^{2}+p_{1}x+q_{1}}}+{\frac {C_{2}x+D_{2}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{2}}}+{\frac {C_{s_{1}}x+D_{s_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{s_{1}}}}+\dots }$ ${\displaystyle +{\frac {M_{1}x+N_{1}}{x^{2}+p_{m}x+q_{m}}}+{\frac {M_{2}x+N_{2}}{(x^{2}+p_{m}x+q_{m})^{2}}}+\dots +{\frac {M_{s_{m}}x+N_{s_{m}}}{(x^{2}+p_{m}x+q_{m})^{s_{m}}}}}$

де ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,B_{1},B_{2},...,C_{1},C_{2},...,M_{1},N_{1},...}$ — деякі дійсні коефіцієнти. Зазвичай невідомі коефіцієнти шукають за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.

• Чисельне інтегрування
• Символьне інтегрування

• Методи інтегрування // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 371. — 594 с.
• Метод заміни змінної (метод підстановки) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 382. — 594 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.