Криволінійний інтеграл

Узагальненням визначеного інтеграла на випадок, коли областю інтегрування є деяка крива, буде так званий криволіні́йний інтегра́л.

Криволінійний інтеграл I роду

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини l. Роздивимось неперервну функцію f(x;y), задану в точках дуги AB. Розіб'ємо криву AB точками M0=A, M1, M2,…, Mn=B на n довільних дуг Mi-1Mi з довжинами відповідно Δli (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній дузі Mi-1Mi довільну точку (xi; yi) і складемо суму

.

Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB.

Нехай  — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо () існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB, або криволінійним інтегралом I роду від функції f(x;y) по кривій AB і позначають

або .

Таким чином, за означенням

.

Теорема про існування криволінійного інтеграла I роду

Якщо функція неперервна в кожній точці гладкої кривої (в кожній точці існує дотична до даної кривої і її положення неперервно змінюється при переміщенні точки по кривій), то криволінійний інтеграл I роду існує і його величина не залежить ні від способу розбиття кривої на частини, ні від вибору точок на них.

Властивості криволінійного інтеграла I роду

. , тобто криволінійний інтеграл I роду не залежить від напрямку інтегрування.

. , тобто сталий множник можна виносити за знак інтеграла.

. , тобто інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів.

. , якщо шлях інтегрування розбито на частини і такі, що і та мають єдину спільну точку.

. Якщо для точок кривої виконується нерівність , то

. , де - довжина кривої .

. Якщо функція неперервна на кривій , то на цій кривій знайдеться точка така, що (теорема про середнє).

Обчислення криволінійного інтеграла I роду

Параметричне задання кривої інтегрування

Нехай в тривимірному просторі задана гладка дуга в параметричному вигляді:
,
тобто , , є неперервними на . То криволінійний інтеграл 1 роду по даній кривій:
Для двовимірного випадку:

Явне задання кривої інтегрування

Явне задання кривої: , : f x y dl f x y x y x dx

Полярне задання кривої інтегрування

Нехай в полярній системі координат крива задана функцією

То криволінійний інтеграл 1-го роду по даній кривій:



Криволінійний інтеграл II роду

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву AB точками M0=A, M1, M2,…, Mn=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг Mi-1Mi з довжинами відповідно Δli (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній елементарній дузі Mi-1Mi довільну точку (xi; yi) і складемо суму

,

де  — проєкція дуги Mi-1Mi на вісь Ox. Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x.

Нехай  — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо () і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (xi;yi), то її називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають

або .

Таким чином, за означенням

.

Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y:

,

де  — проєкція дуги Mi-1Mi на вісь Oy.

Криволінійний інтеграл II роду в загальному вигляді на площині:


Криволінійний інтеграл II роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:


Література

Read other articles:

Ini adalah nama Nias, madonya adalah Manaö. Hidayat Manaö Hakim Agung Republik IndonesiaPetahanaMulai menjabat 7 November 2017PresidenJoko WidodoKetua MAHatta AliMuhammad Syarifuddin Informasi pribadiLahir1 Januari 1961 (umur 63)Bawomataluo, Fanayama, Nias Selatan, Sumatera UtaraSuami/istriSelami DakhiAnak2Alma materUniversitas 17 Agustus 1945 Jakarta (S.H.)Universitas Islam Jakarta (M.H.)PekerjaanTentara, HakimKarier militerPihak IndonesiaDinas/cabang TNI Angkatan DaratMasa&#...

 

PemberitahuanTemplat ini mendeteksi bahwa artikel bahasa ini masih belum dinilai kualitasnya oleh ProyekWiki Bahasa dan ProyekWiki terkait dengan subjek. Terjadi [[false positive]]? Silakan laporkan kesalahan ini. 05.13, Sabtu, 30 Maret, 2024 (UTC) • hapus singgahan Sebanyak 1.305 artikel belum dinilai Artikel ini belum dinilai oleh ProyekWiki Bahasa Cari artikel bahasa  Cari berdasarkan kode ISO 639 (Uji coba)  Kolom pencarian ini hanya didukung oleh beberapa antarmuka Hala...

 

1982 French filmLes Sous-doués en vacancesDirected byClaude ZidiWritten by Claude Zidi Didier Kaminka Michel Fabre Produced byClaude ZidiStarring Guy Marchand Daniel Auteuil Grace de Capitani Charlotte de Turckheim Hubert Deschamps CinematographyPaul BonisEdited by Nicole Saunier Olivier Mauffroy Music byVladimir CosmaProductioncompanyLes Films 7Distributed byAMLFRelease date 1982 (1982) (France) CountryFrance Les Sous-doués en vacances is a 1982 French comedic film, directed by Cl...

31% of the population of Guyana Guyanese HindusTotal population250,000 (2020) 31% of the populationRegions with significant populationsGuyanaUnited StatesCanadaUnited KingdomNetherlandsSurinameTrinidad and TobagoReligionsHinduism(Sanātana Dharma)Majority sectSanātanīMinority sectsArya Samaj · Caribbean Shaktism (Kali Mai Dharam/Madrasi Hinduism) · Sathya Sai Baba movement · Sieunarini (Sir Narain/Shiv Narayani) Panth/Shiva Dharam · o...

 

Artikel ini bukan mengenai Karaite. KeraitesХэрэйд (Khereid)Abad ke-11–Abad ke-13StatusSubjects to: Liao, Kara Khitan, GenghisidsAgama Gereja TimurPemerintahanKekhananKhan • Abad ke-11 Markus Buyruk Khan• Abad ke-12 Saryk Khan• Abad ke-12 Kurchakus Buyruk Khan• –1203 Tooril Khan (terakhir) Era SejarahMiddle Ages• Didirikan Abad ke-11• ditaklukan Kekaisaran Mongol. Abad ke-13 Didahului oleh Digantikan oleh  Zubu Kekhanan Kara-Khaniyyah...

 

ديرويز   الإحداثيات 40°15′08″N 58°26′23″E / 40.252222222222°N 58.439722222222°E / 40.252222222222; 58.439722222222   تقسيم إداري  البلد تركمانستان[1]  التقسيم الأعلى ولاية داشوغوز  عدد السكان  عدد السكان 1689   معلومات أخرى منطقة زمنية ت ع م+05:00  رمز جيونيمز 601736  تعديل مصدر�...

Halaman ini berisi artikel tentang kain tradisional Indonesia. Untuk maskapai penerbangan, lihat Batik Air. Untuk stasiun televisi di Kota Pekalongan, lihat Batik TV. BatikBatik dari Surakarta di Jawa Tengah; sebelum 1997JenisSeni kainBahanKain, sutra, kapasTempat asalIndonesia BatikWarisan Budaya Tak Benda UNESCOPengrajin batik di Jawa menggambar pola rumit menggunakan canting dan lilin yang disimpan panas dan cair dalam panci kecil yang dipanaskan, pada 27 Juli 2011NegaraIndonesiaDomainKeah...

 

Combination-cooking method using wet and dry heat For the metal joining process, see Brazing. For the dish, see Pot roast. Braised ox cheek in star anise and soy sauce Braising (from the French word braiser) is a combination-cooking method that uses both wet and dry heats: typically, the food is first browned at a high temperature, then simmered in a covered pot in cooking liquid (such as wine, broth, coconut milk or beer). It is similar to stewing, but braising is done with less liquid and u...

 

Cet article est une ébauche concernant une chanson française et le Concours Eurovision de la chanson. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Sentiments Songes Chanson de Fanny auConcours Eurovision de la chanson 1997 Sortie 1997 Langue Français Genre Pop, chanson française Auteur-compositeur Jean-Paul Dréau Chansons représentant la France au Concours Eurovision de la chanson Diwanit bugale(19...

Державний комітет телебачення і радіомовлення України (Держкомтелерадіо) Приміщення комітетуЗагальна інформаціяКраїна  УкраїнаДата створення 2003Керівне відомство Кабінет Міністрів УкраїниРічний бюджет 1 964 898 500 ₴[1]Голова Олег НаливайкоПідвідомчі ор...

 

River in Maine, United StatesLittle Cold RiverThe Little Cold River at Route 113B in Stow, MaineShow map of MaineShow map of New HampshireShow map of the United StatesLocationCountryUnited StatesStatesNew Hampshire, MaineCountiesCarroll, NH, Oxford, METownsChatham, NH, Stow, MEPhysical characteristicsSourceConfluence of Watson Brook & McDonough Brook • locationChatham, NH • coordinates44°10′24″N 71°0′40″W / 44.17333°N 71.0111...

 

2016年美國總統選舉 ← 2012 2016年11月8日 2020 → 538個選舉人團席位獲勝需270票民意調查投票率55.7%[1][2] ▲ 0.8 %   获提名人 唐納·川普 希拉莉·克林頓 政党 共和黨 民主党 家鄉州 紐約州 紐約州 竞选搭档 迈克·彭斯 蒂姆·凱恩 选举人票 304[3][4][註 1] 227[5] 胜出州/省 30 + 緬-2 20 + DC 民選得票 62,984,828[6] 65,853,514[6]...

2020年夏季奥林匹克运动会波兰代表團波兰国旗IOC編碼POLNOC波蘭奧林匹克委員會網站olimpijski.pl(英文)(波兰文)2020年夏季奥林匹克运动会(東京)2021年7月23日至8月8日(受2019冠状病毒病疫情影响推迟,但仍保留原定名称)運動員206參賽項目24个大项旗手开幕式:帕维尔·科热尼奥夫斯基(游泳)和马娅·沃什乔夫斯卡(自行车)[1]闭幕式:卡罗利娜·纳亚(皮划艇)&#...

 

Genus of birds Rallina Red-necked crake (Rallina tricolor) Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Chordata Class: Aves Order: Gruiformes Family: Rallidae Genus: RallinaG.R. Gray, 1846 Type species Rallus fasciatus[1]Raffles, 1822 Synonyms Tomirdus Mathews, 1912 Rallina is a genus of bird in the rail family, Rallidae. It contains four species found in forest and marshland in Asia and Australasia.[2] They are 18–34 cm long and mainly chestnu...

 

Men's 1500 metresat the Games of the XXVII OlympiadOlympic AthleticsVenueStadium AustraliaDate25 September 2000 (heats)27 September 2000 (semi-finals) 29 September 2000 (final)Competitors41 from 26 nationsWinning time3:32.07 ORMedalists Noah Ngeny Kenya Hicham El Guerrouj Morocco Bernard Lagat Kenya← 19962004 → Athletics at the2000 Summer OlympicsTrack events100 mmenwomen200 mmenwomen400 mmenwomen800 mmenwomen1500 mmenwomen5000 mmenwomen10,000 m...

Western Hockey League team in Saskatoon, Saskatchewan Saskatoon BladesCitySaskatoon, SaskatchewanLeagueWestern Hockey LeagueConferenceEasternDivisionEastFounded1964Home arenaSaskTel CentreColoursRoyal blue, gold, white     Owner(s)Mike PriestnerGeneral managerColin PriestnerHead coachBrennan SonneWebsitechl.ca/whl-blades/Franchise history1964–1966Saskatchewan Junior Hockey League1966–presentWestern Hockey LeagueChampionshipsRegular season titles5 (1972–73, 1982–83,...

 

Morolake AkinosunNazionalità Stati Uniti Altezza163 cm Peso60 kg Atletica leggera SpecialitàVelocità Record 60 m 708 (indoor - 2017) 100 m 1095 (2016) 200 m 2252 (2015) 200 m 2335 (indoor - 2016) CarrieraSocietà 2013-2016 Texas Longhorns Nazionale 2015- Stati Uniti Palmarès Competizione Ori Argenti Bronzi Giochi olimpici 1 0 0 Mondiali 1 0 1 Giochi panamericani 1 0 0 Campionati NACAC 1 0 0 Vedi maggiori dettagliStatistiche aggiornate al 5 ottobre 2019 Modifica dati su Wikidata&#...

 

Japanese yōkai Shōkera from the Hyakkai Zukan by Sawaki Suushi Shōkera from the Gazu Hyakki Yagyō by Toriyama Sekien The Shōkera (しょうけら, lit. Mole Cricket Spirit) is a Japanese yōkai found in Edo Period yōkai emaki such as, the Hyakkai Zukan and the Gazu Hyakki Yagyō. They can also be written しゃうけら, せうけら, as well as 精螻蛄.[1] Concept In the Hyakkai Zukan, Gazu Hyakki Yagyō etc., they appear only in pictures with no explanatory text, so what kin...

Untuk kegunaan lain, lihat Coffee. Coffea Coffea arabica Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Plantae Klad: Tracheophyta Klad: Angiospermae Klad: Eudikotil Klad: Asterid Ordo: Gentianales Famili: Rubiaceae Subfamili: Ixoroideae Tribus: Coffeeae Genus: CoffeaL. Spesies Coffea arabica - Kopi arabika Coffea benghalensis - Kopi Bengal Coffea canephora - Kopi robusta Coffea congensis - Kopi kongo Coffea excelsa - Kopi liberia Coffea gallienii Coffea bonnieri Coffea mogeneti Coffea liberica - Kopi liberia ...

 

Questa voce sull'argomento calciatori portoghesi è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Márcio SantosNazionalità Portogallo Altezza180 cm Peso82 kg Calcio RuoloPortiere Termine carriera2013 CarrieraGiovanili 1990-1996 Sporting Lisbona Squadre di club1 1996-1998 Lourinhanense? (-?)1998-1999 Real M. Castilla? (-?)1999-2001 Felgueiras34 (-?)2001-2003 Académica35 (...