Дробове числення — розділ математичного аналізу, що вивчає різні способи задання операторів диференціювання ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\,,}$$ і інтегрування ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds}$$ дійсного або комплексного порядку.

У прикладній математиці та математичному аналізі дробова похідна — це похідна будь-якого довільного порядку, дійсного чи комплексного. Вперше про неї згадав 1695 року Готфрід Вільгельм Лейбніц у листі, до Гійома де Лопіталя.^[1] Приблизно в той самий час Лейбніц написав одному з братів Бернулі, описуючи подібність між біноміальною теоремою та правилом Лейбніца для дробової похідної добутку двох функцій.

Дробове числення введено в одній з ранніх праць Нільса Генріка Абеля,^[2] в якій можна побачити багато його елементів: ідею дробового інтегрування та дробового диференціювання, взаємно обернений зв'язок між ними, розуміння того, що дробові диференціювання та інтегрування можна розглядати як одну й ту саму узагальнену операцію, і навіть уніфіковану нотацію для диференціювання та інтегрування довільного дійсного порядку.^[3]

Незалежно від нього, Ліувілль заклав основи предмету в статті 1832 року.^[4][5][6] Близько 1890 року самоук Олівер Гевісайд представив практичне застосування дробових диференціальних операторів до аналізу ліній електропередач.^[7] Теорія та застосування дробового числення значно розширилися протягом XIX та XX століть. Численні автори давали різні визначення дробових похідних та інтегралів.^[8]

Нехай ${\displaystyle f}$ — функція, визначена на ${\displaystyle (0,+\infty )}$. Якщо оператор $${\displaystyle (Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,}$$ взяти двічі від ${\displaystyle f}$, то буде $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{2}f\right)(x)&=\int _{0}^{x}(Jf)(t)\,dt\\&=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\,ds\right)dt\,.\end{aligned}}}$$

І це можна повторювати довільну кількість разів. За формулою Коші для повторного інтегрування^[en] $${\displaystyle \left(J^{n}f\right)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,dt\,,}$$ де n — будь-яке натуральне число.

Використання гамма-функції замість факторіала дає такий оператор дробового інтегрування:

$${\displaystyle \left(J^{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,dt\,.}$$

Отриманий у такий спосіб оператор J задовольняє таку умову: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)&=\left(J^{\beta }\right)\left(J^{\alpha }f\right)(x)\\&=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha +\beta -1}f(t)\,dt\,.\end{aligned}}}$$

Це відношення називають напівгруповою властивістю дробових диферінтегральних операторів.

Класичною формою дробового числення є інтеграл Рімана-Ліувілля^[en], який, по суті, є тим, що описано вище. Теорію дробового інтегрування для періодичних функцій (включаючи «граничну умову» повторення через період) дає інтеграл Вейля^[en]. Він визначений на рядах Фур'є і вимагає, щоб вільний коефіцієнт тригонометричного ряду дорівнював нулю. Інтеграл Рімана — Ліувілля існує у двох формах, верхній та нижній. На відрізку [a,b] ці форми визначають як $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \,,\\\sideset {_{t}}{_{b}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \,.\end{aligned}}}$$ Перша форма справедлива для t > a, а друга — для t < b.^[9]

Інтеграл на додатній дійсній півосі (тобто, a = 0), виходячи з історії відкриття та використання, запропоновано^[10] назвати інтегралом Абеля — Рімана, і, в тому ж ключі, інтеграл за всією дійсною прямою названо інтегралом Ліувілля — Вейля.

Дробовий інтеграл Адамара, який увів Жак Адамар,^[11] задають такою формулою: $${\displaystyle \sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}{\mathbf {D} }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a\,.}$$

Дробовий інтеграл Атангани — Балеану для неперервної функції визначають так: $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {A}}a}^{\operatorname {AB} }}{_{t}^{\alpha }}If(t)={\frac {1-\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )}}f(t)+{\frac {\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \,.}$$

Аналогічний процес для оператора диференціювання D є складнішим. Можна показати, що в загальному випадку D не є ані комутативним, ані адитивним.^[12]

На відміну від класичних ньютонівських похідних, дробові похідні можна визначити різними способами, не всі з яких приводять до однакового результату навіть для гладких функцій. Деякі з них визначають через дробовий інтеграл. Через несумісність визначень часто необхідно чітко вказувати, яке з них використано.

Дробову похідну Рімана — Ліувілля обчислюють за правилом Лагранжа для диференціальних операторів. Для знаходження похідної α-го порядку обчислюють похідну n-го порядку від інтеграла порядку (n − α), де n — найменше ціле число, більше за α (тобто, n = ⌈α⌉). Дробові похідна та інтеграл Рімана — Ліувілля мають низку застосувань.^[13][14] Подібно до визначення інтеграла Рімана — Ліувілля, похідна має верхню та нижню форми:^[15] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{n-\alpha }}If(t)\,,\\\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{n-\alpha }}If(t)\,.\end{aligned}}}$$

Іншим способом обчислення дробових похідних є дробова похідна Капуто. Її ввів Мікеле Капуто у своїй статті 1967 року.^[16] На відміну від дробової похідної Рімана-Ліувілля, при розв'язуванні диференціальних рівнянь використовуючи означення Капуто не потрібно визначати початкові умови дробового порядку. Означення Капуто вводится так (тут знову n = ⌈α⌉): $${\displaystyle \sideset {^{C}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}\,d\tau .}$$

Для ${\displaystyle \nu \in (n-1,n)}$ дробова похідна Капуто має такий вигляд: $${\displaystyle \sideset {^{C}}{^{\nu }}Df(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(t-u)^{(n-\nu -1)}f^{(n)}(u)\,du\,,}$$ і має ту перевагу, що дорівнює нулю, коли f є константою, а її перетворення Лапласа виражається через початкові значення функції та її похідної. Крім того, похідну Капуто для [a,b] визначають як $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}^{b}}{^{n}u}Df(t)&=\int _{a}^{b}\phi (\nu )\left[\sideset {^{C}}{^{\nu }}Df(t)\right]\,d\nu \\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu )}{\Gamma (1-\nu )}}\int _{0}^{t}\left(t-u\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu \,,\end{aligned}}}$$ де ϕ — вагова функція.

У статті 2015 року М. Капуто та М. Фабріціо представили означення дробової похідної з несингулярним ядром для неперервно-диференційованої функції f, заданої так: $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {C}}a}^{\text{CF}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )\ e^{\left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)}\ d\tau ,}$$ де ${\displaystyle a<0,\alpha \in (0,1]}$.^[17]

У 2016 році Атангана та Балеану запропонували диференціальні оператори на основі узагальненої функції Міттага-Лефлера E_α. Метою було ввести дробові диференціальні оператори з несингулярним нелокальним ядром. Їхні дробові диференціальні оператори наведено нижче в сенсі Рімана — Ліувілля та Капуто відповідно для неперервно-диференційованої функції f:^[18][19] $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau \,.}$$ Якщо функція f неперервна, то похідна Атангани — Балеану в сенсі Рімана — Ліувілля має вигляд $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau \,.}$$

Ядро, що використовується в дробовій похідній Атангани — Балеану, має деякі властивості кумулятивної функції розподілу. Наприклад, для всіх ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$ функція E_α зростає на дійсній прямій, збігається до 0 в -∞, і ${\displaystyle E_{\alpha }(0)=1}$. Отже, функція ${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })}$ є кумулятивною функцією розподілу ймовірнісної міри на додатних дійсних числах. Таким чином, визначено розподіл, і будь-який його кратний розподіл називається розподілом Міттага-Леффлера^[en] порядку α. Також, усі ці розподіли ймовірностей є абсолютно неперервними. Зокрема, функція Міттага-Леффлера має окремий випадок E₁, коли є експонентою. Таким чином, розподіл Міттага-Леффлера порядку 1 є експоненційним розподілом.

Похідну Ріса визначають як $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k),}$$ де ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ позначає перетворення Фур'є.^[20][21]

До класичних дробових похідних належать:

• Похідна Ґрюнвальда — Летнікова^[en][22][23]
• Похідна Соніна — Летнікова^[23]
• Похідна Ліувілля^[22]
• Похідна Капуто^[22]
• Похідна Адамара^[22][24]
• Похідна Маршо^[22]
• Похідна Ріса^[23]
• Похідна Міллера — Росса^[22]
• Похідна Вейля^{[en][25][26][22]}
• Похідна Ерделі — Кобера^[en][22]
• ${\displaystyle F^{\alpha }}$-похідна^[27]

До нових дробових похідних належать:

• Похідна Коїмбри^[22]
• Похідна Катугампола^[28]
• Похідна Гільфера^[22]
• Похідна Девідсона^[22]
• Похідна Чена^[22]
• Похідна Капуто — Фабріціо^[18][29]
• Похідна Атангани — Балеану^[18][19]

Оператор Ерделі — Кобера — це інтегральний оператор, який 1940 року ввели Артур Ерделі^[en][30] та Герман Кобер^[en][31], має вигляд $${\displaystyle {\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(t-x\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,}$$ який узагальнює дробовий інтеграл Рімана — Ліувілля та інтеграл Вейля.

Рівняння дробового збереження маси необхідне для моделювання потоку рідини, коли контрольний об'єм^[en] недостатньо великий порівняно з гетерогенністю^[en] і коли потік у контрольному об'ємі є нелінійним:^[32] $${\displaystyle -\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}\,.}$$

При вивченні окисно-відновлювальної поведінки субстрату в розчині до поверхні електрода прикладають напругу, щоб змусити електрони переходити між електродом і субстратом. Перенос електронів, що виникає в результаті, вимірюється як струм. Струм залежить від концентрації субстрату на поверхні електрода. Коли підкладка витрачається, свіжа підкладка дифундує до електрода, як описано в законах дифузії Фіка. Перетворення Лапласа другого закону Фіка дає звичайне диференціальне рівняння другого порядку (в безрозмірній формі): $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)\,.}$$ Якщо взяти похідну від C(x,s), а потім обернене перетворення Лапласа, то отримаємо таку залежність: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}C(x,t)={\frac {d^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}{dt^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}}C(x,t)\,,}$$ яка пов'язує концентрацію субстрату на поверхні електрода зі струмом.^[33] Ця залежність застосовується в електрохімічній кінетиці для з'ясування механістичної поведінки. Наприклад, її використано для вивчення швидкості димеризації субстратів при електрохімічному відновленні.^[34]

У 2013—2014 роках описано деякі задачі потоку підземних вод, використовуючи поняття дробової похідної.^[35][36] Класичний закон Дарсі узагальнено, розглядаючи потік води як функцію похідної нецілого порядку від п'єзометричного напору. Цей узагальнений закон і закон збереження маси використали для виведення нового рівняння для потоку підземних вод.

Аномальні дифузійні процеси в складних середовищах можна добре описати за допомогою моделей рівнянь дифузії дробового порядку.^[37][38] Часова похідна відповідає довготривалому розпаду важкого хвоста, а просторова похідна — нелокальності дифузії. Рівняння просторово-часової дробової дифузії можна записати у вигляді $${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.}$$

Простим продовженням дробової похідної є дробова похідна змінного порядку, за якого α і β змінюються на α(x, t) і β(x, t). Його можна застосовувати в моделюванні аномальної дифузії.^[39][40][41]

Дробові похідні використовують для моделювання в'язкоеластичного згасного коливання в певних типах матеріалів, таких як полімери.^[10]

Узагальнення ПІД-регуляторів для використання дробових порядків може збільшити ступінь їхньої свободи. Нове рівняння, що зв'язує керувальну змінну u(t) з виміряним значенням похибки e(t), можна записати як $${\displaystyle u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d} }D_{t}^{\beta }e(t)\,,}$$ де α і β — додатні дробові порядки, а K_p, K_i, і K_d — невід'ємні коефіцієнти при пропорційному, інтегральному і похідному членах відповідно (іноді позначається, як P, I, і D).^[42]

Поширення акустичних хвиль у складних середовищах, таких як біологічні тканини, зазвичай передбачає згасання, що підпорядковується частотному степеневому закону. Таке явище можна описати за допомогою причинно-наслідкового хвильового рівняння, яке включає дробові похідні за часом:^[43] $${\displaystyle \nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0\,.}$$

Такі моделі пов'язані із загальновизнаною гіпотезою про те, що в складних середовищах явища множинної релаксації призводять до згасання.^{[44][45][46][47]}

Дробове рівняння Шредінгера має такий вигляд:^[48][49] $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,,}$$ де ψ(r, t) — хвильова функція, а ħ — зведена стала Планка. Функція потенціальної енергії V(r, t) залежить від системи.

D_α — стала з фізичною розмірністю [D_α] = J^{1 − α}·m^α·s^−α = kg^{1 − α}·m^{2 − α}·s^{α − 2}, (при α = 2, ${\textstyle D_{2}={\frac {1}{2m}}}$ для частинки з масою m). Оператор (−ħ²Δ)^α/2 є 3-вимірною дробовою квантовою похідною Ріса, яку визначають як $${\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.}$$

Індекс α у дробовому рівнянні Шредінгера є індексом Леві, 1 < α ≤ 2.

Як природне узагальнення дробового рівняння Шредінгера, дробове рівняння Шредінгера змінного порядку використовують для вивчення дробових квантових явищ:^[50] $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\alpha (\mathbf {r} )}(\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{\alpha (\mathbf {r} )}}}=\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\beta (t)}{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t),}$$ де оператор (−ħ²Δ)^β(t)/2 — дробова квантова похідна Ріса змінного порядку.

• Простір Соболєва
• Метод Кранка — Ніколсон
• Неньютонівська рідина
• Шахер Момані

• Лопушанська Г. П., Лопушанський А. О., М'яус О. М. Математичні моделі з дробовими похідними: начальний посібник. — Львів : Львівський національний університет імені Івана Франка, 2023. — 129 с.