Народився 24 серпня (6 вересня) 1908 року в Казані в родині російського та радянського математика і механіка Олександра Петровича Котельникова (1865—1944).
У 1926 вступив до Московського вищого технічного училища імені Баумана, де викладав його батько. На останніх курсах перейшов до Московського енергетичного інституту, який закінчив у 1930 році.
Після закінчення інституту працював у Науково-дослідному інституті зв'язку Червоної армії (жовтень — грудень 1930 року). У 1931 році був зарахований до аспірантуру Московського енергетичного інституту (1931—1933) та одночасно працював лаборантом, потім асистентом, доцентом (1931—1938), завідувачем кафедри «Основи радіотехніки» Московського енергетичного інституту (1938—1941). Працював інженером, головним інженером інституту з радіо, начальником лабораторії (1933—1941) у Центральному інституті зв'язку Народного комісаріату пошт та телеграфів СРСР.
У 1941—1943 роках — начальник лабораторії Державного союзного промислово-експериментального інституту № 56 (місто Уфа), у 1943—1944 роках — начальник відділу урядового зв'язку Народного комісаріату внутрішніх справ СРСР.
У 1944—1980 роках — професор, декан радіотехнічного факультету (1947—1953), директор та головний конструктор ОКБ МЕІ (1948—1953), завідувач кафедри «Основи радіотехніки» (1953—1980) Московського енергетичного інституту.
У 1953—1954 роках — заступник директора, в 1954—1987 роках — директор, у 1987—2005 роках — почесний директор Інституту радіотехніки та електроніки АН СРСР (РАН).
Працював у Відділенні загальної фізики і астрономії Академії наук СРСР.
4 березня 1970 — 27 вересня 1988 року — віцепрезидент і перший віцепрезидент Академії наук СРСР.
30 липня 1973 — 25 березня 1980 року — голова Верховної ради Російської РФСР.
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
