Интегро-дифференциальные уравнения — класс уравнений, в которых неизвестная функция содержится как под знаком интеграла, так и под знаком дифференциала или производной.

${\displaystyle {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)])dy=f(x)}$

где

${\displaystyle {L}_{n}[\varphi (x)]={\frac {{d}^{n}\varphi (x)}{{dx}^{n}}}+{a}_{1}(x){\frac {{d}^{n-1}\varphi (x)}{{dx}^{n-1}}}+...+{a}_{n}(x)\varphi (x)}$ называется внешним дифференциальным оператором, а

${\displaystyle {P}_{m}[\varphi (y)]={\frac {{d}^{m}\varphi (y)}{{dy}^{m}}}+{b}_{1}(y){\frac {{d}^{m-1}\varphi (y)}{{dy}^{m-1}}}+...+{b}_{m}(y)\varphi (y)}$ — внутренним дифференциальным оператором

${\displaystyle K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)])}$ — ядро интегро-дифференциального уравнения

Некоторые интегро-дифференциальные уравнения можно свести к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве, однако существуют эволюционные интегро-дифференциальные уравнения (встречающиеся в теории упругости и моделях биологических процессов), содержащие интегрирование по времени, для которых это сделать сложно.

Линейными интегро-дифференциальными уравнениями называется уравнения, в которые внутренний дифференциальный оператор входит линейно:

${\displaystyle {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x)}$

Линейным интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма называется уравнение с постоянными пределами интегрирования

Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 1-го рода называется уравнение вида:

${\displaystyle \lambda \int _{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f\left(x\right)}$

Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 2-го рода называется уравнение вида:

${\displaystyle {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x)}$

Линейным интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры называется уравнение с переменным верхним пределом интегрирования

Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 1-го рода называется уравнение вида:

${\displaystyle \lambda \int _{a}^{x}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f\left(x\right)}$

Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 2-го рода называется уравнение вида:

${\displaystyle {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int _{a}^{x}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x)}$

Нелинейным уравнением Фредгольма называется интегро-дифференциальное уравнение, в которое внутренний дифференциальный оператор входит нелинейно:

${\displaystyle {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int _{a}^{b}K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)])dy=f(x)}$

• Интегральное уравнение

• Г. А. Шишкин, Линейные интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма. Учебное пособие по спецкурсу и спецсеминару. Издательство Бурятского госуниверситета 2007.