Un număr pătratic piramidal, pătrat perfect piramidal sau număr pătrat piramidal este un număr figurativ care reprezintă numărul de sfere stivuite într-o piramidă cu o bază pătrată. Numerele pătrat piramidale rezolvă, de asemenea, problema numărului de pătrate dintr-o grilă n × n. Numerele piramidale (cu n laturi triunghiulare) sunt adesea confundate cu numerele pătrat piramidale (cu 4 laturi).

Primele numere pătrate piramidale sunt:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819... ^[1]

Aceste numere pot fi exprimate prin formula:

${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.}$

Acesta este un caz special al formulei lui Faulhaber și poate fi dovedit printr-o inducție matematică.^[2] O formulă echivalentă este dată în manuscrisul lui Leonardo Fibonacci, Liber Abaci (1202, ch. II.12).

În matematica modernă, numerele figurate sunt formalizate prin polinoame Ehrhart:

(t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = Pt + 1.[3]

Funcția generatoare pentru numerele piramidale este:

${\displaystyle \mathbf {1} x+\mathbf {5} x^{2}+\mathbf {14} x^{3}+\mathbf {30} x^{4}+\mathbf {55} x^{5}+\ldots ={\frac {x(x+1)}{(x-1)^{4}}}.}$

Numerele piramidale pătrate pot fi, de asemenea, exprimate ca suma coeficienților binomiali:

${\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.}$

Coeficienții binomiali care apar în această expresie prezentată sunt numere tetraedrice. Această formulă exprimă numerele piramidale ca suma a două numere, la fel ca orice număr pătratic este suma a două numere triunghiulare consecutive. În această sumă, unul dintre cele două numere tetraedrice reprezintă numărul de sfere din piramida pliată care sunt situate deasupra sau pe o parte a diagonalei bazei pătrate a piramidei; iar al doilea - reprezintă numărul de sfere situate pe cealaltă parte a diagonalei. Numerele piramidale sunt, de asemenea, legate de numerele tetraedrice după cum urmează:^[4]:

${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{4}}{\binom {2n+2}{3}}.}$

Suma a două numere piramidale consecutive este un număr octaedric.

• Abramowitz, M.; Stegun, I. A., ed. (1964). Handbook of Mathematical Functions. Applied Math. Series. 55. National Bureau of Standards. pp. 813. ISBN 0-486-61272-4. 
• Beiler, A. H. (1964). Recreations in the Theory of Numbers. Dover. pp. 194. ISBN 0-486-21096-0. 
• Goldoni, G. (2002). „A visual proof for the sum of the first n squares and for the sum of the first n factorials of order two”. The Mathematical Intelligencer. 24 (4): 67–69. doi:10.1007/bf03025326. 
• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 260–261. ISBN 0-387-95419-8. 
• Hopcroft, John E.; Motwani, Rajeev; Ullman, Jeffrey D. (2007). Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation (ed. 3). Pearson/Addison Wesley. ISBN 9780321455369. 

• Listă de numere
• Număr figurativ
• Număr hexagonal

v • d • m Numere figurative În plan centrate Număr centrat triunghiular Număr centrat pătratic Număr centrat pentagonal Număr centrat hexagonal Număr centrat heptagonal Număr centrat octogonal Număr centrat nonagonal Număr centrat decagonal Număr centrat endecagonal Număr centrat dodecagonal Număr stelat necentrate Număr triunghiular Număr pătratic Număr pentagonal Număr hexagonal Număr heptagonal Număr octogonal Număr nonagonal Număr decagonal Număr endecagonal Număr dodecagonal În spațiu 3D centrate Număr centrat tetraedric Număr centrat cubic Număr centrat octaedric Număr centrat dodecaedric Număr centrat icosaedric necentrate Număr tetraedric Număr cubic Număr octaedric Număr dodecaedric Număr icosaedric Număr octaedric stelat piramidale Număr piramidal pătratic Număr piramidal pentagonal Număr piramidal hexagonal Număr piramidal heptagonal În spațiu 4D necentrate Număr pentatopic Număr triunghiular pătratic Număr teseractic 5D - 8D necentrate 5-hipercubic 6-hipercubic 7-hipercubic 8-hipercubic Vezi și Număr platonician Listă de numere