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A maior parte do trabalho de Littlewood foi no campo da análise matemática. Ele começou a pesquisa sob a supervisão de Ernest William Barnes, que sugeriu que ele tentasse provar a hipótese de Riemann: Littlewood mostrou que se a hipótese de Riemann é verdadeira, então o teorema do número primo segue e obteve o termo de erro. Este trabalho lhe rendeu sua bolsa da Trindade. No entanto, a ligação entre a hipótese de Riemann e o teorema dos números primos já havia sido conhecida antes na Europa Continental, e Littlewood escreveu mais tarde em seu livro, A Mathematician's Miscellany que sua redescoberta do resultado não lançou uma luz positiva sobre a natureza isolada da matemática britânica na época.[1][2]
Teoria da distribuição dos números primos
Em 1914, Littlewood publicou seu primeiro resultado no campo da teoria analítica dos números sobre o termo de erro da função de contagem de primos. Se π(x) denota o número de primos acima de x, então o teorema do número primo implica que π(x) ~ Li(x), onde é conhecida como integral logarítmica euleriana. Evidências numéricas parecem sugerir que π(x) < Li(x) para todos os x. Littlewood, no entanto, provou que a diferença π(x) − Li(x) muda de sinal infinitamente frequentemente.[3]
Colaboração com G. H. Hardy
Littlewood colaborou por muitos anos com G. H. Hardy. Juntos, eles criaram a primeira conjectura Hardy-Littlewood, uma forma forte da conjectura primo gêmea, e a segunda conjectura Hardy-Littlewood.
Ramanujan
Ele também, com Hardy, identificou o trabalho do matemático indiano Srinivasa Ramanujan como o de um gênio e o apoiou em viajar da Índia para trabalhar em Cambridge.[4] Um matemático autodidata, Ramanujan mais tarde tornou-se membro da Royal Society, membro do Trinity College, Cambridge, e amplamente reconhecido como em pé de igualdade com outros gênios, como Euler e Jacobi.[5]
Colaboração com Mary Cartwright
No final da década de 1930, quando a perspectiva de guerra se aproximava, o Departamento de Pesquisa Científica e Industrial buscou o interesse de matemáticos puros nas propriedades de equações diferenciais não lineares que eram necessárias para engenheiros de rádio e cientistas. Os problemas atraíram Littlewood e Mary Cartwright, e eles trabalharam neles de forma independente durante os 20 anos seguintes.[6]
Os problemas em que Littlewood e Cartwright trabalharam diziam respeito a equações diferenciais decorrentes das primeiras pesquisas sobre radar: seu trabalho prenunciava a teoria moderna dos sistemas dinâmicos. A desigualdade de 4/3 de Littlewood nas formas bilinear foi um precursor da teoria posterior da norma tensora de Grothendieck.
↑Littlewood, John Edensor (30 de outubro de 1986). Bollobás, Béla, ed. Littlewood's Miscellany. Cambridge New York Port Chester [etc.]: Cambridge University Press. p. 89. ISBN0-521-33702-X
↑Bateman & Diamond 1978, p. 29: "This heroic proposal and Littlewood's later account of it are commentaries upon the isolation of British mathematics at that time."
Burkill, J. C. (1978). «John Edensor Littlewood. 9 June 1885–6 September 1977». Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society. 24: 322–326. JSTOR769763. doi:10.1098/rsbm.1978.0010
