Ten artykuł zawiera pewne przykłady przestrzeni liniowych. W artykule „przestrzeń liniowa” znajdują się definicje używanych tutaj pojęć. Zobacz też: wymiar, baza.

Notacja. ${\displaystyle K}$ będzie oznaczać dowolne ciało takie jak liczby rzeczywiste ${\displaystyle \mathbb {R} }$ lub liczby zespolone ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Zobacz też: lista symboli matematycznych.

Najprostszy przykład przestrzeni liniowej jest trywialny: ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}.}$ Zawiera ona tylko wektor zerowy (zob. 3. aksjomat przestrzeni liniowej). Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są trywialne. Bazą tej przestrzeni liniowej jest zbiór pusty, tak więc ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$ jest 0-wymiarową przestrzenią liniową nad ${\displaystyle K.}$ Każda przestrzeń liniowa nad ${\displaystyle K}$ zawiera podprzestrzeń z nią izomorficzną.

Kolejnym prostym przykładem jest samo ciało ${\displaystyle K.}$ Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem w ciele, a mnożenie przez skalar – mnożeniem z ciała. Jedynka ${\displaystyle K}$ służy jako baza, tak więc ${\displaystyle K}$ jest 1-wymiarową przestrzenią liniową nad sobą.

Ciało jest raczej szczególną przestrzenią liniową; rzeczywiście jest najprostszym przykładem algebry przemiennej nad ${\displaystyle K.}$ Dodatkowo ${\displaystyle K}$ ma tylko dwie podprzestrzenie: ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$ oraz samo ${\displaystyle K.}$

Jest to prawdopodobnie najistotniejszy przykład przestrzeni liniowej. Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej ${\displaystyle n,}$ przestrzeń wszystkich ciągów ${\displaystyle n}$-elementowych o wartościach z ${\displaystyle K}$ stanowi ${\displaystyle n}$-wymiarową przestrzeń liniową nad ${\displaystyle K}$ nazywaną czasami przestrzenią współrzędnych i oznaczaną ${\displaystyle K^{n}.}$ Element ${\displaystyle K^{n}}$ zapisuje się

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$

gdzie każdy ${\displaystyle x_{i}\in K.}$ Działania na ${\displaystyle K^{n}}$ zdefiniowane są wzorami:

${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n}),}$

${\displaystyle \alpha \mathbf {x} =(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n}),}$

${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0,\dots ,0),}$

${\displaystyle \mathbf {-x} =(-x_{1},-x_{2},\dots ,-x_{n}).}$

Najczęstsze przypadki obejmują za ciało ${\displaystyle K}$ liczby rzeczywiste dając w ten sposób przestrzeń współrzędnych rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ lub liczby zespolone dając przestrzeń współrzędnych zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

Kwaterniony i oktawy Cayleya (oktoniony) są odpowiednio cztero- i ośmiowymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad liczbami rzeczywistymi.

Przestrzeń liniowa ${\displaystyle K^{n}}$ ma bazę kanoniczną:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,\dots ,0),}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(0,1,\dots ,0),}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \mathbf {e} _{n}=(0,0,\dots ,1),}$

gdzie ${\displaystyle 1}$ oznacza element neutralny mnożenia w ${\displaystyle K.}$

Niech ${\displaystyle K^{\infty }}$ oznacza przestrzeń ciągów nieskończonych elementów z ${\displaystyle K}$ takich, że tylko skończenie wiele elementów jest różnych od zera. Oznacza to, że jeśli zapiszemy element ${\displaystyle K^{\infty }}$ jako

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ),}$

to tylko skończenie wiele ${\displaystyle x_{i}}$ jest niezerowych (czyli od pewnego momentu wszystkie współrzędne są zerem). Dodawanie i mnożenie przez skalar dane są tak jak w skończonej przestrzeni współrzędnych. Wymiar ${\displaystyle K^{\infty }}$ jest przeliczalnie nieskończony. Baza kanoniczna składa się z wektorów ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ zawierających ${\displaystyle 1}$ na ${\displaystyle i}$-tej współrzędnej i zera wszędzie indziej. Ta przestrzeń liniowa jest koproduktem (lub sumą prostą) przeliczalnie wielu egzemplarzy przestrzeni liniowej ${\displaystyle K.}$

Należy zauważyć tutaj rolę warunku skończoności. Można by rozważać dowolne ciągi elementów z ${\displaystyle K,}$ które również tworzą przestrzeń liniową z takimi samym działaniami, często oznaczaną ${\displaystyle K^{\mathbb {N} }}$ – zob. niżej. Jednakże wymiar takiej przestrzeni jest nieprzeliczalnie nieskończony i nie ma oczywistego wyboru bazy. Ponieważ wymiary się różnią, ${\displaystyle K^{\mathbb {N} }}$ nie jest izomorficzna z ${\displaystyle K^{\infty };}$ w zamian jest to produkt przeliczalnie wielu egzemplarzy ${\displaystyle K.}$

Warto zauważyć, że ${\displaystyle K^{\infty }}$ jest (izomorficzna z) przestrzenią sprzężoną ${\displaystyle K^{\infty },}$ ponieważ przekształcenie liniowe ${\displaystyle T}$ z ${\displaystyle K^{\infty }}$ w ${\displaystyle K}$ jest jednoznacznie określone przez jego wartości ${\displaystyle T(\mathbf {e} _{i})}$ na elementach bazy ${\displaystyle K^{\infty },}$ a te wartości mogą być dowolnie wybrane. Stąd widać, że przestrzeń liniowa nie musi być izomorficzna do swojej przestrzeni sprzężonej, jeśli jest ona nieskończeniewymiarowa, w przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego.

Rozpoczynając od ${\displaystyle n}$ lub przeliczalnej rodziny przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem, możemy określić iloczyn przestrzeni (przestrzeń produktową) jak wyżej.

Niech ${\displaystyle K^{m\times n}}$ oznacza zbiór macierzy z elementami w ${\displaystyle K.}$ Wówczas ${\displaystyle K^{m\times n}}$ jest przestrzenią liniową nad ${\displaystyle K.}$ Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem macierzy, a mnożenie przez skalar jest zdefiniowane naturalnie (jako mnożenie każdego elementu przez ten sam skalar). Rolę wektora zerowego pełni macierz zerowa. Wymiar ${\displaystyle K^{m\times n}}$ wynosi ${\displaystyle mn.}$ Jednym z możliwych wyborów bazy są macierze z jednym elementem jednostkowym i pozostałych elementach równych zeru.

Zbiór wielomianów o współczynnikach w ${\displaystyle K}$ jest przestrzenią liniową nad ${\displaystyle K}$ oznaczaną ${\displaystyle K[x].}$ Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są określone w oczywisty sposób. Jeżeli stopień wielomianów jest nieograniczony, to wymiar ${\displaystyle K[x]}$ jest przeliczalnie nieskończony. Jeżeli ograniczy się stopień wielomianów do ściśle mniej niż ${\displaystyle n}$ otrzymamy przestrzeń liniową o wymiarze ${\displaystyle n.}$

Jedną z możliwych baz dla ${\displaystyle K[x]}$ jest złożona z wielomianów ${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3},\dots {:}}$ współrzędnymi wielomianu w tej bazie są jego współczynniki, a przekształcenie przesyłające wielomian na ciąg jego współczynników jest izomorfizmem liniowym z ${\displaystyle K[x]}$ w nieskończoną przestrzeń współrzędnych ${\displaystyle K^{\infty }.}$

Zbiór wielomianów wielu zmiennych o współczynnikach w ${\displaystyle K}$ jest przestrzenią liniową nad ${\displaystyle K}$ oznaczaną ${\displaystyle K[x_{1},x_{2},\dots ,x_{r}],}$ gdzie ${\displaystyle r}$ oznacza liczbę współrzędnych.

Jak wspomniano wyżej, przestrzeń liniową (nad danym ciałem) tworzą wszystkie ciągi, które od pewnego momentu są zerowe (stałe). Tę przestrzeń można ugoólniać na ciągi:

• sumowalne (suma ich wyrazów jest skończona), oznaczane przez ${\displaystyle s}$^{[potrzebny przypis]}. Przykładem ciągu, który ma nieskończenie wiele wyrazów niezerowych, ale jest sumowalny, jest ${\displaystyle a_{n}:={\frac {1}{n^{2}}}}$ – ciąg odwrotności kwadratów kolejnych liczb naturalnych. Innym znanym przykładem ciągu sumowalnego jest ciąg geometryczny ${\displaystyle a_{n}:=a_{0}q^{n}}$ dla ilorazów mniejszych od jedności (${\displaystyle q<1}$). Jego sumą jest szereg geometryczny.
• sumowalne z kwadratem (${\displaystyle \ell ^{2}}$). Przykładem ciągu, który nie jest sumowalny, ale jest sumowalny z kwadratem, jest ciąg harmoniczny odwrotności kolejnych liczb naturalnych: ${\displaystyle a_{n}:={\frac {1}{n}}.}$ Jego suma (szereg harmoniczny) jest nieskończona.
• sumowalne z modułem i dowolną potęgą (Przestrzeń Lp),
• zbieżne do zera, oznaczane przez ${\displaystyle c_{0}}$^{[potrzebny przypis]},
• zbieżne, oznaczane przez ${\displaystyle c}$^{[potrzebny przypis]},
• ograniczone, oznaczane przez ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$^{[potrzebny przypis]}.

Oprócz tego w przestrzeni ${\displaystyle s}$ ciągów sumowalnych można wyróżnić podprzestrzeń ${\displaystyle s_{0}}$ ciągów z sumą równą zero^{[potrzebny przypis]}. Przecina się ona z nieskończoną przestrzenią współrzędnych.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie dowolnym zbiorem, a ${\displaystyle V}$ dowolną przestrzenią liniową nad ${\displaystyle K.}$ Przestrzeń wszystkich funkcji z ${\displaystyle X}$ w ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią liniową nad ${\displaystyle K}$ z działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalar określonymi jak następująco – dla dowolnych funkcji ${\displaystyle f,\,g}$ i dowolnego skalara ${\displaystyle \alpha {:}}$

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x),}$

${\displaystyle (\alpha f)(x)=\alpha f(x),}$

gdzie działania po prawej stronie są określone w ${\displaystyle V.}$ Wektorem zerowym jest przez funkcja stała. Przestrzeń wszystkich funkcji z ${\displaystyle X}$ w ${\displaystyle V}$ jest zwykle oznaczana ${\displaystyle V^{X}.}$

Jeżeli zbiór ${\displaystyle X}$ jest skończony, a ${\displaystyle V}$ skończeniewymiarowa, to ${\displaystyle V^{X}}$ ma wymiar ${\displaystyle |X|^{\dim V},}$ w pozostałych przypadkach przestrzeń jest nieskończeniewymiarowa (nieprzeliczalnie, jeśli ${\displaystyle X}$ jest nieskończony).

Wiele przestrzeni liniowych badanych w matematyce jest podprzestrzeniami pewnych przestrzeni funkcyjnych.

Przykładem rzeczywistej przestrzeni funkcyjnej są funkcje schodkowe^{[potrzebny przypis]}.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy zbiór wszystkich funkcji z ${\displaystyle X}$ w ${\displaystyle K,}$ które przyjmują wartość zero poza skończoną liczbą argumentów. Przestrzeń ta jest podprzestrzenią liniową ${\displaystyle K^{X}.}$

Przestrzeń opisana wyżej jest zwykle oznaczana ${\displaystyle (K^{X})_{0}}$ i nazywana jest uogólnioną przestrzenią współrzędnych z następującego powodu. Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest zbiorem liczb od ${\displaystyle 1}$ do ${\displaystyle n,}$ to łatwo widać, że przestrzeń ta jest równoważna przestrzeni współrzędnych ${\displaystyle K^{n}.}$ Podobnie jeżeli ${\displaystyle X}$ jest zbiorem liczb naturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ to przestrzeń ta jest po prostu ${\displaystyle K^{\infty }.}$

Baza kanoniczna dla ${\displaystyle (K^{X})_{0}}$ jest zbiorem funkcji ${\displaystyle \{\delta _{x}|x\in X\}}$ określonych wzorem

${\displaystyle \delta _{x}(y)={\begin{cases}1,&x=y\\0,&x\neq y\end{cases}}.}$

Wymiar ${\displaystyle (K^{X})_{0}}$ jest więc równy mocy zbioru ${\displaystyle X.}$ W ten sposób możemy skonstruować przestrzeń liniową dowolnego wymiaru nad dowolnym ciałem. Co więcej, każda przestrzeń liniowa jest izomorficzna z jedną tej postaci. Każdy wybór bazy określa izomorfizm przez przesłanie bazy na bazę kanoniczną ${\displaystyle (K^{X})_{0}.}$

Uogólniona przestrzeń współrzędnych może być także rozumiana jako suma prosta ${\displaystyle |X|}$ egzemplarzy ${\displaystyle K}$ (czyli jednej dla każdego punktu z ${\displaystyle X}$):

${\displaystyle (K^{X})_{0}=\bigoplus _{x\in X}~K.}$

Warunek skończoności jest zawarty w definicji sumy prostej. Warto porównać to z iloczynem prostym ${\displaystyle |X|}$ egzemplarzy ${\displaystyle K,}$ który dałby pełną przestrzeń funkcyjną ${\displaystyle K^{X}.}$

Ważnym przykładem powstającym w kontekście samej algebry liniowej jest przestrzeń liniowa przekształceń liniowych. Niech ${\displaystyle \operatorname {L} (V,W)}$ oznacza zbiór wszystkich przekształceń liniowych z ${\displaystyle V}$ do ${\displaystyle W}$ (obie z nich są przestrzeniami liniowymi nad ${\displaystyle K}$). Wówczas Niech ${\displaystyle \operatorname {L} (V,W)}$ jest podprzestrzenią ${\displaystyle W^{V},}$ ponieważ jest ona zamknięta na dodawanie i mnożenie przez skalar.

Zauważmy, że ${\displaystyle \operatorname {L} (K^{n},K^{m})}$ może być identyfikowane z przestrzenią macierzy ${\displaystyle K^{m\times n}}$ w naturalny sposób. Rzeczywiście, wybrawszy odpowiednie bazy w skończeniewymiarowych przestrzeniach ${\displaystyle V}$ oraz ${\displaystyle W}$ przestrzeń ${\displaystyle \operatorname {L} (V,W)}$ może być także identyfikowana z ${\displaystyle K^{m\times n}.}$ Ta identyfikacja zwykle zależy od wyboru bazy.

Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest pewną przestrzenią topologiczną, taką jak przedział jednostkowy ${\displaystyle [0,1],}$ możemy rozważać przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z ${\displaystyle X}$ w ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Jest to podprzestrzeń liniowa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{X},}$ ponieważ suma dowolnych dwóch funkcji ciągłych jest ciągła, a również mnożenie przez skalar jest ciągłe.

Podprzestrzeniami tej przestrzeni są funkcje ciągłe o szczególnych właściwościach analitycznych: funkcje różniczkowalna, gładkie i analityczne^{[potrzebny przypis]}.

Podzbiór przestrzeni wszystkich funkcji z ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ składających się z (wystarczająco wiele razy różniczkowalnych) funkcji, które spełniają pewne równanie różniczkowe jest podprzestrzenią ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },}$ o ile równanie jest liniowe. Jest to spowodowane faktem, iż różniczkowanie jest działaniem liniowym, czyli ${\displaystyle (af+bg)^{'}=af^{'}+bg^{'},}$ gdzie apostrof oznacza operator różniczkowania.

Przypuśćmy, że ${\displaystyle L}$ jest podciałem ${\displaystyle K}$ (por. rozszerzenie ciała). Wówczas ${\displaystyle K}$ może być uważane za przestrzeń liniową nad ${\displaystyle L}$ przy ograniczeniu mnożenia skalarów do elementów z ${\displaystyle L}$ (dodawanie wektorów jest zdefiniowane normalnie). Wymiar tej przestrzeni liniowej jest nazywany stopniem rozszerzenia. Na przykład liczby zespolone ${\displaystyle \mathbb {C} }$ tworzą dwuwymiarową przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Podobnie liczby rzeczywiste ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tworzą (nieprzeliczalnie) nieskończeniewymiarową przestrzeń liniową nad liczbami wymiernymi ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Jeżeli ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią liniową nad ${\displaystyle K,}$ to może być uważana również za przestrzeń liniową nad ${\displaystyle L.}$ Wymiary są związane wzorem

${\displaystyle \dim _{L}V=\dim _{K}V\cdot \dim _{L}K.}$

Na przykład ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ uważana za przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi ma wymiar ${\displaystyle 2n.}$

Abstrahując od trywialnego przypadku zerowymiarowej przestrzeni nad dowolnym ciałem, przestrzeń liniowa ma skończenie wiele elementów wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle K}$ jest ciałem skończonym i przestrzeń liniowa jest skończeniewymiarowa. Stąd mamy ${\displaystyle K_{q},}$ jednoznaczne, skończone ciało o ${\displaystyle q}$ elementach. ${\displaystyle q}$ musi być tutaj potęgą liczby pierwszej (${\displaystyle q=p^{m},\quad p}$ – pierwsza). Wtedy dowolna ${\displaystyle n}$-wymiarowa przestrzeń liniowa nad ${\displaystyle K_{q}}$ będzie mieć ${\displaystyle q^{n}}$ elementów. Liczba elementów ${\displaystyle V}$ również jest potęgą liczby pierwszej. Głównym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń współrzędnych ${\displaystyle (K_{q})^{n}.}$

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.