W artykule opisano iloczyn skalarny określony na rzeczywistychprzestrzeniach współrzędnych[a] oraz wymiaru wraz z ortonormalnąbazą standardową, nazywany też zwykłym, standardowym (w przestrzeniach afinicznych nazywa się go także euklidesowym); niżej określenia te będą pomijane (użyto notacji ustalonej w artykule o przestrzeniach współrzędnych[b]). Uogólnienia opisano w oddzielnej sekcji.
gdzie oznacza transpozycję macierzy Wzór ten jest użyteczny także w ogólnym przypadku[c], lecz w przypadku przestrzeni liniowych wzór ten opisuje formę dwuliniową, tj. funkcję mającą szereg własności, które służą często jako abstrakcyjna, tzn. niezależna od współrzędnych, definicja iloczynu skalarnego (zob. przestrzeń unitarna). Wśród najważniejszych można wymienić:
bo o ile dla pewnego i, co wynika z własności liczb rzeczywistych (kwadrat liczby niezerowej jest dodatni, suma liczb dodatnich jest dodatnia)
Jeśli to wektory oraz nazywa się ortogonalnymi. Wprost z definicji wynika, że jeśli choć jeden czynnik jest wektorem zerowym, to iloczyn skalarny również jest zerowy; może się jednak zdarzyć, iż choć oraz (zob. Przykłady); mówi się wtedy czasem o prostopadłości tych wektorów. Wektory zerowe są więc jedynym elementem odróżniającym ortogonalność od prostopadłości (geometrycznie wektor zerowy odpowiada punktowi, można więc uważać, że dowolny punkt jest prostopadły do wektora, odcinka czy prostej); w oznaczeniach nie odróżnia się zwykle jednego pojęcia od drugiego, oznaczając oba symbolem
Wynika stąd, że iloczyn skalarny, w przeciwieństwie do mnożenia liczb, nie ma własności skracania (tj. z równości nie wynika o ile tylko ). Otóż jeśli to z prawa rozdzielności zachodzi co jest możliwe wtedy, gdy są ortogonalne (tj. jeden z tych wektorów jest zerowy: lub bądź są one prostopadłe, tzn. ).
Przykłady
Iloczyn skalarny dwóch trójwymiarowych wektorów oraz wynosi
choć żaden z tych wektorów nie jest zerowy – oznacza to, że wektory te są ortogonalne (prostopadłe).
W jednowymiarowej przestrzeni iloczyn skalarny dany jest jako zwykłe mnożenie. Innym przykładem iloczynu skalarnego jest tzw. iloczyn wewnętrzny Frobeniusa, który jest iloczynem skalarnym na przestrzeni macierzy ustalonego typu danym „po współrzędnych”, tj. jako suma iloczynów odpowiadających sobie elementów tych macierzy (macierze dwuwymiarowe są więc traktowane jak „długie” wektory jednowymiarowe).
Interpretacja geometryczna
Iloczyn skalarny umożliwia wprowadzenie „długości” wektora, tj. jego modułu lub normy, mianowicie
przy czym wielkość ta jest poprawnie zdefiniowana, gdyż wyrażenie podpierwiastkowe jest nieujemne; jest to standardowa długość wektora dana z kilkukrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa.
Ponieważ długość wektora jest niezależna od wprowadzonego układu współrzędnych oraz z własności iloczynu skalarnego wynika
czyli
więc
i dlatego iloczyn skalarny jest również niezależny od układu współrzędnych. Weźmy pod uwagę płaszczyznę wyznaczoną przez wektory Jeśli za osie układu współrzędnych w tej płaszczyźnie przyjmiemy oś zawierającą wektor i z nim zgodną oraz oś prostopadłą do tego wektora, to
Wtedy i dlatego kąt między wektorami oraz dany jest wzorem
gdzie oznacza funkcję arcus cosinus (odwrotną do funkcji cosinus). Można też rozumować następująco. Jeśli wektory leżą względem siebie pod kątem a wektor jest dany jako dzięki czemu wektory te tworzą trójkąt, to zgodnie z twierdzeniem cosinusów dla tego trójkąta zachodzi
a ponieważ kwadrat modułu jest równy iloczynowi skalarnemu wektora przez siebie, to
skoro jednak to także
czyli
na mocy prawa rozdzielności. Porównując pierwsze i trzecie równanie na otrzymuje się
co po redukcji wyrazów podobnych i skróceniu czynnika daje[1]
Wielkość jest równa długości (modułowi) rzutu wektora na wektor stąd powyższy wzór umożliwia geometryczną interpretację iloczynu skalarnego jako iloczynu długości tego rzutu przez długość Z postaci tej można dużo łatwiej odczytać, iż (niezerowe) wektory prostopadłe, tj. takie, dla których jest nieparzystą wielokrotnością mają iloczyn skalarny równy zeru.
Opisane własności geometryczne wynikają w dużej mierze z ustalenia bazy ortonormalnej, jaką jest baza standardowa. W gruncie rzeczy pojęcie prostopadłości ma sens geometryczny i przy podanej definicji wymaga bazy standardowej. Z kolei ortogonalność jest definiowana za pomocą iloczynu skalarnego i pokrywa się z prostopadłością w przypadku użycia bazy standardowej. Różnice między tymi pojęciami często rozmywa się, bo dowolna przestrzeń liniowa skończonego wymiaru ma tę samą strukturę, co przestrzeń współrzędnych o tej samej liczbie wymiarów (przestrzenie te są izomorficzne).
Innym zagadnieniem jest trudność definiowania pojęć geometrycznych (nawet w przypadku przestrzeni współrzędnych) w przypadku więcej niż trzech wymiarów – iloczyn skalarny jest wygodnym sposobem wprowadzenia zarówno długości (tj. normy), jak i kąta. Struktura unitarna (tj. obecność iloczynu skalarnego) czyni z przestrzeni liniowej przestrzeń unormowaną, która z kolei wprowadza w niej strukturę metryczną (pojęcie odległości). Stopniowe odrzucanie dodatkowych struktur umożliwiło wyabstrahowanie uogólnień pojęć długości i odległości w postaci normy i metryki.
Iloczyn skalarny, jak każdą formę dwuliniową, można przedstawić w postaci macierzy; przykładowo niech będzie bazą (niekoniecznie standardową) przestrzeni Iloczyn skalarny wektorów (kolumnowych) tej przestrzeni dany jest wtedy jako
gdzie oznacza wektor kolumnowy, a to wektor wierszowy współrzędnych wektora (kolumnowego) wyrażonych w bazie [e], zaś macierz stopnia jest reprezentacją macierzową iloczynu skalarnego (która musi być dodatnio określona i symetryczna) w bazie opisywanego wzorem
↑Wektory w przestrzeni współrzędnej (jak w dowolnej przestrzeni liniowej) zaczepione są w jej początku (zob. wektor zerowy); można także rozpatrywać przestrzenie afiniczne, w których wektory zaczepione mogą być w dowolnych punktach, jednak iloczyn skalarny może być obliczany wyłącznie dla wektorów o wspólnym początku.
↑Elementy przestrzeni czyli ciągi-elementowe (zapisywane w nawiasach okrągłych), nazywane będą wektorami i oznaczane będą małymi, półtłustymi, prostymi literami alfabetu łacińskiego, z kolei elementy przestrzeni czyli macierze jednokolumnowe o wierszach (zapisywane w nawiasach kwadratowych), nazywane będą wektorami kolumnowymi i oznaczane dużymi, półtłustymi, prostymi, literami alfabetu łacińskiego; składowe wektorów (kolumnowych) i skalary będą zapisywane pismem pochyłym; oznaczenia literowe wektorów i ich składowych pokrywają się, numer składowej wskazano w indeksie dolnym.
↑Rozdzielność wraz ze zgodnością z mnożeniem przez skalar, tj. addytywność i jednorodność, ze względu na każdy argument nazywa się liniowością (por. forma liniowa); własność ta zachodzi ze względu na każdy z dwóch czynników, w tej sytuacji mówi się o dwuliniowości (por. forma dwuliniowa).
↑Tj. jeśli jest wektorem kolumnowym współrzędnych wektora w bazie to