Dixon swoją piłkarską karierę rozpoczynał w juniorach Tottenhamu. W 1979 roku trafił do Dunstable, zaś latem 1980 do Reading FC. W tej drużynie występował przez trzy lata, po czym za 175 tysięcy funtów przeniósł się do Chelsea. W swoim debiucie w The Blues Dixon strzelił dwa gole w spotkaniu z Derby County. Pierwszy sezon występów w nowej drużynie zakończył z 28 trafieniami w 42 ligowych meczach. W kolejnych rozgrywkach zawodnik również był jedną z najważniejszych postaci w swoim zespole. W następnych sezonach Dixon również grał w podstawowym składzie, jednak do siatki rywali trafiał coraz rzadziej. W 1986 i 1990 roku wygrał wraz z kolegami z drużyny Full Members Cup. Chelsea opuścił w 1992 roku. Łącznie w The Blues rozegrał 421 meczów w których strzelił 193 gole i z tym wynikiem zajmuje trzecie miejsce na liście najskuteczniejszych zawodników londyńskiej ekipy. Dixon kontynuował później swoją karierę w Southampton, Luton Town, Milwall FC, Watford FC oraz Doncaster Rovers.
Dixon w reprezentacji Anglii grał w latach 1985–1986. Wystąpił z nią na Mundialu rozegranym w Meksyku, w którym Anglicy dotarli do ćwierćfinału. Łącznie w barwach narodowych rozegrał osiem meczów, w których zdobył cztery gole.
Kariera trenerska
W 1996 roku Dixon objął posadę grającego trenera w Doncaster Rovers. Drużynę opuścił dwanaście miesięcy później.
