전사 함수의 예 수학 에서 전사 함수 (全射函數, 영어 : surjection; surjective function ) 또는 위로의 함수 (영어 : onto )는 공역 과 치역 이 같은 함수 이다.
두 집합
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
함수
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
동치 이며, 이를 만족시키는 함수를 전사 함수 라고 한다.
임의의
y
∈ ∈ -->
Y
{\displaystyle y\in Y}
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)=y}
x
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x\in X}
공역 과 치역 이 같다. 즉,
Y
=
f
(
X
)
{\displaystyle Y=f(X)}
f
{\displaystyle f}
전사 사상 이다. 즉, 임의의 집합
Z
{\displaystyle Z}
함수
g
1
,
g
2
: : -->
Y
→ → -->
Z
{\displaystyle g_{1},g_{2}\colon Y\to Z}
g
1
∘ ∘ -->
f
=
g
2
∘ ∘ -->
f
{\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f}
g
1
=
g
2
{\displaystyle g_{1}=g_{2}}
f
{\displaystyle f}
분할 전사 사상 이다. 즉,
f
∘ ∘ -->
g
{\displaystyle f\circ g}
Y
{\displaystyle Y}
항등 함수 를 이루는 함수
g
: : -->
Y
→ → -->
X
{\displaystyle g\colon Y\to X}
선택 공리 를 가정하지 않으면 성립하지 않는다.)
임의의 함수
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
g
: : -->
Y
→ → -->
Z
{\displaystyle g\colon Y\to Z}
만약
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
g
∘ ∘ -->
f
{\displaystyle g\circ f}
만약
g
∘ ∘ -->
f
{\displaystyle g\circ f}
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
두 집합
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
동치 이다.
전사 함수
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
Y
=
∅ ∅ -->
{\displaystyle Y=\varnothing }
|
X
|
≥ ≥ -->
|
Y
|
{\displaystyle |X|\geq |Y|}
|
⋅ ⋅ -->
|
{\displaystyle |\cdot |}
집합의 크기 이다.공역 의 크기 가 0 또는 1인 함수는 항상 전사 함수이다. (공역이 공집합이라면, 정의역 또한 공집합이어야만 함수가 존재할 수 있다.)
정의역과 공역이 둘 다 실수 집합
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
→ → -->
R
{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
x
↦ ↦ -->
x
2
{\displaystyle x\mapsto x^{2}}
는 전사 함수가 아닌데,
x
2
=
− − -->
1
{\displaystyle x^{2}=-1}
x
{\displaystyle x}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
[
0
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle [0,\infty )}
R
→ → -->
[
0
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle \mathbb {R} \to [0,\infty )}
x
↦ ↦ -->
x
2
{\displaystyle x\mapsto x^{2}}
는 전사 함수이다.
유럽 언어에서 쓰이는 용어 "서젝션"(영어 : surjection ), "쉬르젝시옹"(프랑스어 : surjection ) 등은 단사를 뜻하는 "인젝션"(영어 : injection ), "앵젝시옹"(프랑스어 : injection )에서, 접두사 "인"(라틴어 : in , 안으로)을 "쉬르"(프랑스어 : sur 쉬르[* ] , 위로)로 치환한 것이다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키 가 최초로 사용하였다.
