극좌표계(極座標系, 영어: polar coordinate system)는 평면 위의 위치를 각도와 거리를 써서 나타내는 2차원좌표계이다. 극좌표계는 두 점 사이의 관계가 각이나 거리로 쉽게 표현되는 경우에 가장 유용하다. 데카르트 좌표계에서는 삼각함수로 복잡하게 나타나는 관계가 극좌표계에서는 간단하게 표현되는 경우가 많다. 2차원 좌표계이기 때문에 극좌표는 반지름 성분과 각 성분의 두 성분으로 결정되며 주로 로 나타내는 반지름 성분은 극(데카르트 좌표에서 원점)에서의 거리를 나타낸다. 주로 로 나타내는 각 성분은 0°(데카르트 좌표계에서 x축의 양의 방향에 해당)에서 반시계 방향으로 잰 각의 크기를 나타낸다.[1]
역사
각과 반지름의 개념은 이미 기원전에 사용되었다. 고대 그리스의 천문학자 히파르코스(기원전 190~120년)가 여러 각마다 현의 길이를 나타내는 표를 만들었는데, 그가 항성의 위치를 나타내기 위해 극좌표를 사용하였다는 주장도 있다.[2]아르키메데스가 묘사한 아르키메데스 나선은 반지름 성분이 각에 따라 변하는 함수로 주어진다. 하지만 이들의 작업은 완성된 좌표계로 발전하지는 못하였다.
극좌표를 정식 좌표계로 도입한 예는 여러 번 있었다. 이에 대한 역사는 하버드 대학교 교수인 줄리언 쿨리지의 《극좌표의 근원》에 서술되어 있다.[3] 17세기 중반에 그레구아르 생뱅상과 보나벤투라 카발리에리는 독립적으로 극좌표의 개념을 발표하였다. 생뱅상은 1625년에 작성해 1647년에 출판하였으며, 카발리에리는 1635년에 출판하였으며, 개정판은 1653년에 나왔다. 카발리에리는 아르키메데스 나선의 넓이를 구하는 문제를 풀기 위해 극좌표를 처음으로 사용하였다. 이에 따라 블레즈 파스칼은 포물선의 길이를 계산하기 위해 극좌표를 사용하였다.
아이작 뉴턴은 《유율법》(Method of Fluxions, 1671년 작성, 1736년 출판)에서 “일곱 번째 방법: 나선에 대하여”로 표현한 극좌표와 다른 아홉 가지 좌표계 사이의 변환을 분석하였다.[4]야코프 베르누이는 학술지 《Acta Eruditorum》(1691년)에서 점과 선을 이용한 좌표계를 사용하고 각각을 극과 극축이라 불렀다. 좌표는 극에서의 거리와 극축에서의 각으로 정의하였다. 베르누이의 연구는 곡선의 곡률반지름을 찾는 데까지 확장되었다.
“극좌표”라는 용어는 이탈리아의 그레고리오 폰타나가 처음 정하였으며, 18세기의 이탈리아 학자들이 사용하였다. 영어로는 조지 피콕이 1816년 라크루아의 《미적분학》(Differencial and Intergral Calculus)을 번역하면서 처음 등장하였다.[5][6]알렉시 클로드 클레로는 극좌표를 처음으로 3차원으로 확장하였으며, 오일러가 이를 더욱 발전시켰다.[3]
극좌표를 이용한 점의 표시
극좌표계의 점은 반지름(r)과 각(θ)로 표현된다. r은 극에서의 거리를 의미하고, θ는 0°(데카르트 좌표계의 x축 양의 방향에 해당)에서의 각도를 의미한다. 만약 r이 음의 값을 갖는다면, θ가 가리키는 방향과 반대방향으로 거리 |r|만큼 떨어진 점을 뜻한다.[1]
예를 들어, 극좌표 (3, 60°)는 극에서 60° 방향으로 3단위만큼 떨어진 곳을 나타낸다. 극좌표 (3, -300°)도 같은 위치에 그려진다.
데카르트 좌표와는 달리 극좌표에서는 하나의 점을 나타내는 방법이 무한히 많다. 여러 바퀴를 돌아 제자리에 돌아와도 위치는 변하지 않기 때문이다. 일반적으로 (r, θ)는
(0, θ)는 일반적으로 극을 뜻하며, 반지름이 0이기 때문에 어떠한 각이든 상관이 없다.[8] 점을 나타내는 방법을 하나로 제한할 때에는 r은 양수로, θ는 구간 [0, 360°) 또는 (−180°, 180°](라디안으로는 [0, 2π) 또는 (−π, π])의 수로 하는 것이 보통이다.[9]
극좌표의 각은 라디안을 이용한 호도법으로도 표현할 수 있으며(2π rad = 360°), 이는 상황에 따라 다르다. 항행에서는 60분법으로 각을 나타내며, 물리 분야(특히 회전 역학)와 거의 모든 미적분에서는 호도법이 쓰인다.[10]
극좌표를 이용하여 곡선을 나타내는 방정식을 극좌표 방정식 또는 극방정식이라고 한다. 보통은 r 를 θ 에 관한 함수로 정의한다. 곡선 위의 점은 로 정의되며 함수 r 의 그래프로 생각할 수 있다.
극좌표 방정식 r(θ)의 형태로부터 대칭성을 추론할 수 있다. 만약 r(−θ) = r(θ) 이라면 곡선은 수평 반경(0° / 180°)에 대하여 대칭이 되며, r(π−θ) = r(θ)이라면 수직 반경(90° / 270°)에 대하여 대칭이 되며, r(α−θ) = r(θ)일 때는 α/2만큼 반시계 방향으로 돌린 곳에서 대칭이 된다.
극좌표계의 성질 덕에 많은 곡선이 간단한 극좌표 방정식으로 표현될 수 있으며, 이에 반해 데카르트 좌표로 표현되려면 난해한 곡선이 많이 있다. 극좌표 방정식으로 표현될 수 있는 곡선은 극좌 장미 곡선, 아르키메데스 나선, 달팽이꼴 곡선, 심장형 등이 있다.
매개변수a는 나선의 위치를 돌려 놓으며, b는 나선 사이의 폭을 조정한다. r(θ) = bθ일 경우, 각이 θ > 0일 때와 θ < 0일 때, 각각의 아르키메데스 소용돌이는 두 가지의 곡선을 그리며 이들은 극에서 매끄럽게 만난다. 90°/270°선(데카르트 좌표계의 y축과 같음)을 기준으로 좌우대칭상을 그리면 다른 쪽 곡선이 나온다. 이 곡선은 수학 관련 저술에서 원뿔 곡선 다음으로 등장하는 곡선이며 극좌표로 가장 잘 표현되는 예로 거론된다.
원뿔 곡선
초점 중 하나가 극에 있으며 다른 하나는 0°의 어딘가에 있는(원뿔 곡선의 주축이 극축에 있도록) 원뿔 곡선은 다음과 같이 정의된다.
e는 이심률이며 은 극이 아닌 초점에서 주축(major axis)에 수직이 되게 곡선까지 잰 거리(semi-latus rectum)이다. e > 1일 때 이 방정식은 쌍곡선이 되며, e = 1일 때는 포물선이 되고, e < 1일 때는 타원이 된다. e = 0일 때는 반지름 인 원이 그려진다.
복소수 체계
모든 복소수는 복소평면 위의 점으로 표현될 수 있으며, 데카르트 좌표계와 극좌표계의 방식으로 모두 표현 가능하다. 복소수 z는 다음과 같이 데카르트 좌표계의 형태로 표현될 수 있다.
는 허수 단위이다. 이 식은 아래와 같이 극좌표계로 나타낼 수 있다. 이를 복소수의 극형식이라 한다.
곡선 r(θ), θ = a, θ = b에 의해 둘러싸인 부분을 R 라 하자.(0 < b − a < 2π) 이때 R의 넓이는 다음과 같다.
다음과 같은 과정을 통해 이를 유도할 수 있다. 먼저 구간 [a, b]를 n 개의 구간으로 나눈다(n은 자연수). 각 구간 i = 1, 2, …, n에서 θi이 각 구간의 중점이라 하고 극에 중심을 두는 부채꼴을 만든다(r(θi), 중심각 : Δθ, 호의 길이 : r(θi)Δθ). 이때 만들어진 각 부분의 넓이는 이다. 따라서 총 넓이는 다음과 같은 리만 합으로 나타낼 수 있다.
구간의 개수 n이 증가함에 따라 그 극한값은 R 의 넓이에 가까워진다.
일반화
데카르트 좌표를 이용해서 무한소 넓이는 와 같이 계산된다. 치환 적분법으로 좌표계를 바꾸어 중적분할 때에는 야코비 행렬식을 이용해야 한다.
따라서 극좌표계의 좌표에 따른 넓이는 다음과 같이 주어진다.
이제 극좌표계로 주어진 함수는 다음과 같이 적분할 수 있다.
여기서 R 는 곡선 r(θ), θ= a, θ = b에 둘러싸인 영역이다. R 의 넓이는 함수 f 를 1과 같다고 하면 된다.
원통 좌표계는 평면 극좌표로 (0,0)을 제외한 xy 평면 전체를 일대일 대응시킬 수 있으므로, 여기에 z축을 더하여, 3차원 공간을 표현할 수 있다. 평면 극좌표계의 r, θ, 그리고 z로 이루어지는 이 좌표계를 원통 좌표계라고 한다. 원통 좌표계란 이름이 붙은 이유는, 세 좌표 중 r이 고정되고, θ, z가 임의의 값을 취할 수 있을 때의 자취가 원통이기 때문이다. 원통 좌표계의 특이점은 z축 위의 점들이다.
세 가지 원통 좌표계의 좌표들은 다음과 같은 공식을 써서 데카르트 좌표로 변환할 수 있다.
구면좌표계는 원점에서의 거리 r, z축 양의 방향과 이루는 각 'θ', xy 평면으로의 사영이 x축 양의 방향과 이루는 각 φ, 이 세 가지 변수 r,θ,φ로 이루어지는 좌표계이다. 특이점은 r=0 이거나, θ=nπ(단, n은 자연수)를 만족하는 모든 (r,θ,φ)이며, 데카르트 좌표계에선 각각 (x,y,z)=(0,0,0), z축에 해당한다. 구면 좌표계는 r을 고정시켰을 때의 자취가 원점을 중심으로 하는 구이기 때문에 붙여진 이름이다.
구면좌표계의 r은 원점과의 거리인 반면 원통 좌표계의 r은 z축과의 거리이다. 따라서 이를 구분하기 위해 원통 좌표계의 반지름을 r대신 ρ를 써서 표기하기도 한다. 원통 좌표계의 θ는 구면좌표계의 θ가 아닌, φ와 일치한다. 또한 이 좌표계는 지구의 지도에 사용되는 위도, 경도와 비슷하다. 위도 δ는 'θ'의 여각이며(δ = 90° − 'θ'), 경도 은 = 'φ' − 180°와 같이 정의된다.[16]
극좌표계는 2차원이기 때문에 점이 2차원 면에 있을 때에만 사용할 수 있다. 극좌표계가 가장 널리 쓰이는 곳은 어떤 현상이 중앙에서의 거리와 방향에 밀접한 관계가 있는 경우이다. 위의 예시는 기본적인 극좌표를 사용한 식이 곡선을 정의하기에 충분하다는 것을 보여준다(아르키메데스 소용돌이처럼 데카르트 좌표계로는 표현했을 때 복잡한 식이 한 예이다). 또한, 물체가 중심에서 돌거나 중심을 두고 발생하는 현상이 자주 관찰되는 물리 체계에서는 극좌표계를 적용하는 것이 보다 간단하고 직관적으로도 이해하기 쉽다. 극좌표계를 도입하고자 한 계기는 등속 원운동이나 궤도 운동을 연구하기 위한 것이었다.
위치와 항행
극좌표계는 항행에 자주 쓰이며, 각과 거리로 목적지나 여행 방향을 정해준다. 예를 들어 항공기는 항행을 위해 약간 변형된 극좌표를 사용한다. 0°는 주로 360°로 주로 일컬어지며, 각도는 반시계 방향이 아닌 시계 방향으로 돈다. 360°는 자북극을 가리키며, 90°, 180°, 270°는 각각 동쪽, 남쪽, 서쪽을 일컫는다.[17] 따라서 동향으로 5해리를 이동하는 항공기는 90°로 5단위를 이동하는 것이 된다(항공 교통 관제에서는 90(niner-zero)라고 읽는다).[18]
모형화
중앙점이 대칭의 기준이 되는 시스템이면 자연스럽게 극좌표계를 사용할 수 있다. 가장 대표적인 예는 지하수 공식이며, 방사적으로 대칭되는 우물에 곧잘 쓰인다. 또한 중심력이 있는 시스템도 극좌표가 사용될 수 있다. 이러한 시스템은 중력장(역제곱법칙을 따른다), 안테나와 같이 점광원이 쓰이는 체계 등이다.
방사적으로 비대칭되는 시스템에도 극좌표계가 쓰일 수 있다. 예를 들어 마이크로폰의 지향특성은 음원의 방향에 따라 비례적인 반응을 보이며, 이러한 패턴은 극좌표 곡선으로 표현될 수 있다. 가장 흔하게 사용되는 마이크인 카디오이드 마이크의 곡선은 다음과 같은 공식으로 표현된다.
↑Smith, David Eugene (1925). 《History of Mathematics, Vol II》. Ginn and Co. 324쪽.지원되지 않는 변수 무시됨: |출판위키location= (도움말)
↑“극좌표와 그래프 그리기”(PDF). 2006년 4월 13일. 2012년 2월 15일에 원본 문서(PDF)에서 보존된 문서. 2006년 9월 22일에 확인함.
↑Lee, Theodore; David Cohen, David Sklar (2005). 《Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry》 Four판. Thomson Brooks/Cole.지원되지 않는 변수 무시됨: |iD= (추천: |id=) (도움말); 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑Stewart, Ian; David Tall (1983). 《Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane)》. 케임브리지 대학교 출판부. 0521287634.더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
↑Serway, Raymond A.; Jewett, Jr., John W. (2005). 《Principles of Physics》. Brooks/Cole—Thomson Learning. 0-534-49143-X.더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
↑Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence (1999). 《The Student's Introduction to Mathematica®》. 케임브리지 대학교 출판부. 0521594618.더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
↑Smith, Julius O. (2003). 〈Euler's Identity〉. 《Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT)》. W3K Publishing. 0-9745607-0-7. 2006년 9월 15일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2006년 9월 22일에 확인함.
↑Eargle, John (2005). 《Handbook of Recording Engineering》 Four판. Springer. 0387284702. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
참고 자료
Anton, Howard; Irl Bivens, Stephen Davis (2002). 《Calculus》 Seven판. Anton Textbooks, Inc. 0-471-38157-8.더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Finney, Ross; George Thomas, Franklin Demana, Bert Waits (1994). 《Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic》 Single Variable Version판. Addison-Wesley Publishing Co. 0-201-55478-X.더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말); 지원되지 않는 변수 무시됨: |출판월= (도움말)
Mountain in Wyoming, United States Wind River PeakWind River Peak (center) seen from a distance in July 2010.Highest pointElevation13,197 ft (4,022 m)[1]Prominence2,552 ft (778 m)[1]ListingNorth America highest peaks 114thUS highest major peaks 95thCoordinates42°42′31″N 109°07′41″W / 42.70861°N 109.12806°W / 42.70861; -109.12806[2]GeographyWind River PeakLocation in WyomingShow map of WyomingWind River PeakLo...
Taman Nasional WasurIUCN Kategori II (Taman Nasional)Wasur NPLocation of Wasur NP in South PapuaLetakPapua Selatan, IndonesiaKota terdekatMeraukeKoordinat8°36′S 140°50′E / 8.600°S 140.833°E / -8.600; 140.833Koordinat: 8°36′S 140°50′E / 8.600°S 140.833°E / -8.600; 140.833Luas4,138 km²Didirikan1990Pihak pengelolaKementerian Lingkungan Hidup dan KehutananSitus webwww.tamannasionalwasur.com Taman Nasional Wasur adalah salah sat...
Gedung gereja Saint-Germain l'Auxerrois Saint-Germain l'Auxerrois adalah gereja Katolik Roma di Arondisemen Pertama Paris, terletak di 2 Place du Louvre, tepat di seberang Istana Louvre. Itu dinamai Jermanus dari Auxerre, Uskup Auxerre (378–448), yang menjadi utusan kepausan dan bertemu dengan Saint Genevieve, santo pelindung Paris, dalam perjalanannya. Genevieve terkenal telah mengubah ratu Clotilde dan suaminya, raja Prancis Clovis I menjadi Kristen di makam Saint Germain di Auxerre.[...
Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. Mohon bantu kami mengembangkan artikel ini dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya. Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus.Cari sumber: Spacewatch – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR (March 2010) Jumlah ODB yang dideteksi berbagai proyek. Spacewatch adalah sebuah proyek di University of Arizona hingga 2011[update] yang...
والنوت هيل الإحداثيات 38°28′39″N 89°02′44″W / 38.4775°N 89.0456°W / 38.4775; -89.0456 [1] تقسيم إداري البلد الولايات المتحدة[2] التقسيم الأعلى إلينوي خصائص جغرافية المساحة 0.37 ميل مربع عدد السكان عدد السكان 95 (1 أبريل 2020)[3] الكثافة السكانية 25...
Cette liste de ponts de Suède a pour vocation de présenter une liste de ponts remarquables de Suède, tant par leurs caractéristiques dimensionnelles, que par leur intérêt architectural ou historique. Les ponts mobiles de Södertälje La catégorie lien donne la classification de l'ouvrage parmi ceux présentés et propose un lien vers la fiche technique du pont sur le site Structurae, base de données et galerie internationale d'ouvrages d'art. La liste peut être triée selon les diff�...
Sepak mula (paling tenar dengan istilah kick-off yang berasal dari bahasa Inggris, sesekali bisa disebut sebagai tendangan pembuka, atau sepak awal ) adalah hal-hal mengenai dasar pelaksanaan secara nyata tentang permulaan dan kelanjutan suatu pertandingan sepak bola yang akan dilakoni, dengan salah seorang pemain menendang bola dari titik tengah lapangan.[1] Sepak mula juga akan kembali dilakukan setelah masuknya bola ke dalam gawang yang dicetak salah satu di antara kedua regu sepak...
Tennis tournamentBRD Brașov Challenger 2014 BRD Brașov ChallengerATP Challenger TourLocationBrașovRomaniaVenueComplex Sportiv OlimpiaCategoryATP Challenger TourSurfaceClay / OutdoorsDraw32S/32Q/16DPrize money€35,000+H Austrian Andreas Haider-Maurer is the most recent champion, lifting the trophy twice, in 2012 & 2013 Frenchman Benoît Paire lifted the singles trophy in 2011 The tournament is held at the Olimpia Sports Complex in Braşov. The BRD Brașov Challenger is a tennis to...
Мыс Большой Кадильный Расположение 51°54′55″ с. ш. 105°13′20″ в. д.HGЯO АкваторияБайкал Страна Россия Субъект РФИркутская область Мыс Большой Кадильный Мыс Большой Кадильный Мыс Большо́й Кади́льный — мыс на юго-западном побережье Байкала в Иркутском районе Ирк�...
أرسطوبولس الثاني (بالإغريقية: Αριστόβουλος Β) معلومات شخصية تاريخ الميلاد سنة 100 ق م تاريخ الوفاة سنة 49 ق م سبب الوفاة سم مكان الدفن القدس الأولاد أنتيجونوس الحشمونيألكسندر المكابي الأب ألكسندر جنايوس الأم سالومي ألكسندرا إخوة وأخوات هيرك�...
Protein-coding gene in the species Homo sapiens For the CBS affiliate in Denver, Colorado on channel 4, see KCNC-TV. KCNC4Available structuresPDBOrtholog search: PDBe RCSB List of PDB id codes1B4G, 1B4I, 1ZTNIdentifiersAliasesKCNC4, C1orf30, HKSHIIIC, KSHIIIC, KV3.4, potassium voltage-gated channel subfamily C member 4External IDsOMIM: 176265; MGI: 96670; HomoloGene: 68427; GeneCards: KCNC4; OMA:KCNC4 - orthologsGene location (Human)Chr.Chromosome 1 (human)[1]Band1p13.3Start110,210,31...
Jess PhillipsPhillips pada 2019 Menteri Kekerasan Domestik dan Pemanduan Keselamatan BayanganMasa jabatan9 April 2020 – 15 November 2023PemimpinKeir StarmerPendahuluCarolyn Harris (Pemanduan Keselamatan dan Pemakaman)PenggantiPetahanaAnggota Parlemenfor Birmingham YardleyPetahanaMulai menjabat 7 Mei 2015PendahuluJohn HemmingPenggantiPetahanaMayoritas10,659 (25.0%) Informasi pribadiLahirJessica Rose Trainor9 Oktober 1981 (umur 42)Birmingham, InggrisPartai politikBuruhSuami/...
منتخب تونغا لاتحاد الرغبي اللقب ʻIkale Tahi بلد الرياضة تونغا تاريخ التأسيس 15 أغسطس 1924 الألوان الرئيسية الألوان الثانوية تصنيف الرغبي العالمي [الإنجليزية] الحالي 13 (في 21 مايو 2018) أعلى تصنيف 9 (2011) أدنى تصنيف 20 (2006) مشاركة دولية تونغا 9–6 فيجي(نوكو ألوفا، تونغا; 25 أغسطس 1924) تو�...
Residences of bureaucrats in imperial China Not to be confused with Yemen. For place in Guangdong, see Yamen, Guangdong. This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Yamen – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2008) (Learn how and when to remove this message) YamenThe former yamen in Kowl...
Chú bác, cậu dượng (trong bài gọi tắt là chú bác) là anh, em ruột của cha mẹ hoặc kết hôn với chị, em ruột của cha mẹ. Chú bác có quan hệ họ hàng sinh là họ hàng cấp hai. Đối với chú bác là nữ thì gọi là cô, và quan hệ tương hỗ là cháu trai hoặc cháu gái. Từ này có nguồn gốc từ tiếng Latinh: avunculus là phần nhỏ của avus (ông nội) và là một mối quan hệ gia đình trong một gia đìn...
العلاقات الرواندية الناميبية رواندا ناميبيا رواندا ناميبيا تعديل مصدري - تعديل العلاقات الرواندية الناميبية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين رواندا وناميبيا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه المقا...
Voce principale: Borussia Verein für Leibesübungen 1900 Mönchengladbach. Borussia Verein für Leibesübungen 1900 MönchengladbachStagione 1965-1966Sport calcio Squadra Borussia M'gladbach Allenatore Hennes Weisweiler Bundesliga13º posto Coppa di GermaniaPrimo turno Maggiori presenzeCampionato: Rupp, Vogts (34)Totale: Rupp, Vogts (36) Miglior marcatoreCampionato: Rupp (16)Totale: Rupp (20) StadioBökelbergstadion Maggior numero di spettatori35 000 vs. Colonia, Monaco 1860 Minor...