기울기 (벡터)

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정의
미분 일반화 무한소 주요 부분 전미분
개념
미분 표기법 고계 도함수 변수 변환 테일러 정리
법칙과 항등식
합 규칙 곱 규칙 몫 규칙 멱 규칙 연쇄 법칙 역함수의 미분 음함수의 미분

적분

정의
적분표
부정적분 적분 (이상적분) 리만 적분 르베그 적분 경로적분
적분법
부분적분 디스크 방법 원통셸 방법 치환적분 (삼각 치환) 부분분수 적분법 적분 순서 적분의 점화식

수열과 급수

수렴판정법
기하급수 (산술-기하 수열) 조화급수 교대급수 멱급수 이항급수 테일러 급수
일반항 판정법 비판정법 근판정법 적분판정법 비교판정법 극한비교판정법 교대급수판정법 코시 응집판정법 디리클레 판정법 아벨 판정법

위의 두 그림에서는 회색의 밝기가 스칼라계의 크기를 뜻한다. 짙은 색일수록 크기가 큰데, 스칼라계의 기울기는 파란색 화살표로 나타냈다.

기울기(gradient 그레이디언트^[*]) 또는 경도란 벡터 미적분학에서 스칼라장의 최대의 증가율을 나타내는 벡터장을 뜻한다.

기울기를 나타내는 벡터장을 화살표로 표시할 때 화살표의 방향은 증가율이 최대가 되는 방향이며, 화살표의 크기는 증가율이 최대일 때의 증가율의 크기를 나타낸다.

기울기의 의미

어느 방안의 공간 온도 분포가 스칼라장 φ로 주어졌다고 가정한다. 이 때, 방안의 어느 한 점(x,y,z)에서의 온도는 φ(x,y,z)로 표시할 수 있다. (온도는 시간에 의해 변화하지 않는다고 가정) 이 경우에 어느 한 지점에서의 기울기는 온도가 가장 빨리 증가하는 방향과 그 증가율을 나타낸다.

이번에는 산이나 언덕을 가정해보자. 어떤 지점(x,y)에서의 높이를 H(x,y)로 표현하는 경우, 기울기는 가장 (위를 바라보는)경사가 가파른 방향과 그 경사의 크기를 나타낸다.

기울기를 이용해 다른 방향의 증가율을 구하려면 기울기와 그 방향의 단위 벡터의 내적을 취하면 된다.

기울기는 무회전성 벡터계이다. 즉, 기울기 벡터계에 대해 선적분을 구하면 결과값은 경로와 상관없이 시작점과 끝점에 따라서만 변화함을 뜻한다.

기울기의 수학적 정의

스칼라 함수 $f(x)$ 의 기울기는 ${\boldsymbol {\nabla }}f$ 로 표현한다. $\nabla$ 기호는 벡터 미분 연산자로 나블라(nabla) 혹은 델(del)연산자라고 부른다.

기울기는 $f$ 의 각 성분의 편미분으로 구성된 열벡터로 정의하며 다음과 같이 표시한다.

{\boldsymbol {\nabla }}f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)

{\boldsymbol {\nabla }}f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)

예를 들어 함수

f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)

의 기울기는

{\boldsymbol {\nabla }}f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}

이다.

성질

그래디언트는 등위선과 직교한다.

{\boldsymbol {\nabla }}f\bot L_{c}(f).\quad L_{c}(f)=\left\{\mathbf {r} (t)|f(\mathbf {r} (t))=c\right\}

증명

등위집합은 다음과 같이 정의된다. 함수 $f$ 의 값을 일정하게 하는 곡선상을 매개변수 $t$ 를 이용한 벡터 $\mathbf {r}$ 로 나타낸다.

L_{c}(f)=\left\{\mathbf {r} (t)=(x_{1},x_{2},...,x_{n})|f(\mathbf {r} (t))=c\right\}

등위집합의 접선벡터는 $\mathbf {r} '(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+\Delta t)-\mathbf {r} (t)}{\Delta t}}$ 이 된다. 한편 $g(t)=f(\mathbf {r} (t))=c$ 라 할 때

g'(t)={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}{\frac {dx_{2}}{dt}}+...+{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}={\boldsymbol {\nabla }}f\cdot \mathbf {r} '(t)=0

따라서 그래디언트와 등위선은 직교한다.

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