라디안(영어: radian) 또는 호도(弧度)는 각의 크기를 재는 SI 유도 단위이다. 기호는 rad 또는 ^c이며 이는 자주 생략된다. 어떤 각의 라디안 값은 같은 크기의 단위원 중심각이 대하는 호의 길이와 같다. 1 라디안은 약 57.3 도이다.

평면 위의 각이 주어졌다고 하자. 이 각의 꼭짓점을 중심으로 하는 원을 취하자. 이 원의 반지름을 ${\displaystyle r>0}$이라고 하고, 이 원에서 주어진 각이 대하는 호의 길이를 ${\displaystyle l}$이라고 하자. 원주율은 모든 원에 대하여 일정하므로, 호의 길이와 반지름의 비

${\displaystyle {\frac {l}{r}}}$

는 원의 선택과 무관하다. 이를 주어진 각의 라디안 값으로 정의한다.

예를 들어, 평각은 길이가 ${\displaystyle \pi r}$인 반원의 둘레를 대하므로 ${\displaystyle \pi }$ 라디안이다.

라디안은 길이와 길이의 비율로 정의되므로 무차원 단위이다. 따라서 단위를 생략하여도 좋다.

라디안과 도 사이의 환산은 다음과 같다.

${\displaystyle 1\operatorname {rad} ={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }}$ (OEIS의 수열 A072097)

${\displaystyle 1^{\circ }={\frac {\pi }{180}}\operatorname {rad} \approx 0.0175\operatorname {rad} }$ (OEIS의 수열 A019685)

라디안과 그레이드 사이의 환산은 다음과 같다.

${\displaystyle 1\operatorname {rad} ={\frac {200^{\operatorname {g} }}{\pi }}\approx 63.6620^{\operatorname {g} }}$ (OEIS의 수열 A060294)

${\displaystyle 1^{\operatorname {g} }={\frac {\pi }{200}}\operatorname {rad} \approx 0.0157\operatorname {rad} }$ (OEIS의 수열 A019669)

자주 쓰이는 각들의 단위 환산은 다음과 같다.

바퀴	라디안 (rad)	도 (°)	그레이드 (g)
0	0	0	0
${\displaystyle {\frac {1}{24}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	15	${\displaystyle 16{\frac {2}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	30	${\displaystyle 33{\frac {1}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$	36	40
${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	45	50
${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	60	${\displaystyle 66{\frac {2}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{5}}}$	72	80
${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	90	100
${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$	120	${\displaystyle 133{\frac {1}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {4\pi }{5}}}$	144	160
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle \pi }$	180	200
${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	270	300
1	${\displaystyle 2\pi }$	360	400

삼각 함수는 라디안 값을 독립 변수로 사용하며, 이 경우 삼각 함수의 각종 성질을 더 간결하게 나타낼 수 있다. 예를 들어, 사인 함수와 코사인 함수에 대하여 다음과 같은 미분 공식이 성립한다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sin x=\cos x}$

도를 단위로 하는 사인 및 코사인 함수

${\displaystyle f(x)=\sin {\frac {\pi x}{180}}}$

${\displaystyle g(x)=\cos {\frac {\pi x}{180}}}$

의 미분 공식에는 다음과 같이 불필요한 계수가 붙는다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)={\frac {\pi }{180}}g(x)}$

원의 반지름을 ${\displaystyle r}$, 원의 호의 길이를 ${\displaystyle l}$, 호가 대하는 중심각의 라디안을 ${\displaystyle \theta }$라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 호의 길이 공식이 성립한다.

${\displaystyle l=r\theta }$

또한, 다음과 같은 부채꼴의 넓이 공식이 성립한다.

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta }$

입체각의 단위 스테라디안과 함께 SI 보조 단위에 속했었다. 1995년에 SI 보조 단위가 폐지되면서 SI 유도 단위가 되었다.

• 각속도
• 밀리라디안
• 스테라디안

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라디안

• 네이버 캐스트 - 라디안
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Radian”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.