집합론에서 공종도(共終度, 영어: cofinality)는 주어진 원순서 집합의 공종 집합의 최소 크기이다. 이는 원순서 집합의 일종의 복잡도를 나타낸다.

임의의 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$에 대하여, ${\displaystyle X}$의 공종도 ${\displaystyle \operatorname {cf} X}$는 ${\displaystyle X}$의 공종 집합들의 크기들의 최솟값이다.^{[1]:198, §1} 마찬가지로, ${\displaystyle X}$의 공시작도 ${\displaystyle \operatorname {cf} (X^{\operatorname {op} })}$는 ${\displaystyle X}$의 공시작 집합들의 크기들의 최솟값이다.

정렬 전순서 집합의 부분 집합은 항상 정렬 전순서 집합이다. 이 경우, 순서수 ${\displaystyle \alpha }$의 공종 집합들의 순서형들의 최솟값은 항상 기수이며, 이는 ${\displaystyle \alpha }$의 공종도와 일치한다.^{[2]:32, Definition I.10.30}

기수 ${\displaystyle \kappa }$의 공종도 ${\displaystyle \operatorname {cf} \kappa }$는 순서수로서의 공종도이다.

무한 기수 ${\displaystyle \kappa }$의 공종도는 다음과 같이 직접적으로 정의할 수도 있다.

${\displaystyle \operatorname {cf} \kappa =\min \left\{|I|\colon \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i},\;\forall i\colon \lambda _{i}<\kappa \right\}}$

즉, ${\displaystyle \kappa }$를 그보다 더 작은 기수들의 합으로 나타낼 때, 합의 항들의 수의 최솟값이다.

순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 순서수를 정칙 기수(正則基數, 영어: regular cardinal)라고 한다.

• 공종도 함수의 고정점이다. 즉, ${\displaystyle \alpha =\operatorname {cf} \alpha }$이다.^{[1]:198, §1[2]:33, Definition I.10.34}
• 임의의 순서수들의 집합 ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {Ord} }$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \alpha =\sup _{\operatorname {Ord} }S}$라면 (즉, ${\displaystyle S\subseteq \alpha }$가 공종 집합이라면) ${\displaystyle \alpha }$는 ${\displaystyle (S,\leq )}$와 순서 동형이다.
• ${\displaystyle \alpha }$는 기수이며, ${\displaystyle \alpha \neq 2}$이며, ${\displaystyle \alpha }$개 미만의, ${\displaystyle \alpha }$ 미만 기수들의 기수 합으로 나타낼 수 없다. 즉, 임의의 기수의 집합 ${\displaystyle (\kappa _{i})_{i\in I}}$에 대하여 ${\displaystyle \textstyle \alpha \leq \sum _{i\in I}\kappa }$라면 ${\displaystyle |I|\geq \alpha }$이거나, ${\displaystyle \kappa _{i}\geq \alpha }$인 ${\displaystyle i\in I}$가 존재한다. (여기서 ${\displaystyle \textstyle \sum }$은 기수의 합이다.)
• ${\displaystyle \alpha \neq 2}$는 기수이며, 크기가 ${\displaystyle \alpha }$ 미만인 집합들의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} _{<\alpha }}$는 크기 ${\displaystyle \kappa }$ 미만의 모든 쌍대 극한을 갖는다.

(일부 문헌에서는 유한 정칙 기수인 0과 1을 정칙 기수로 치지 않는 경우도 있다.) 만약 ${\displaystyle \kappa >\operatorname {cf} \kappa }$라면, ${\displaystyle \kappa }$를 특이 기수(特異基數, 영어: singular cardinal)라고 한다. ${\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} \kappa }$는 불가능하다.

공종도 함수는 멱등 함수이다.^{[2]:33, Corollary I.10.33} 즉, 모든 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여

${\displaystyle \operatorname {cf} \operatorname {cf} \alpha =\operatorname {cf} \alpha }$

이다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {cf} \alpha }$는 항상 정칙 기수이다.

임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {cf} \alpha \leq \alpha }$

이는 ${\displaystyle \alpha }$ 전체가 자명하게 공종 집합이기 때문이다.

임의의 무한 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여 다음이 성립한다. (이는 쾨니그의 정리에 의하여 함의된다.)

${\displaystyle \operatorname {cf} \kappa \leq \kappa <\min \left\{\operatorname {cf} (2^{\kappa }),\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}\right\}\leq 2^{\kappa }}$

1을 제외한 모든 정칙 기수는 극한 순서수이다.

임의의 양의 자연수 ${\displaystyle n>0}$의 경우, (따름 순서수이므로) ${\displaystyle \operatorname {cf} n=1}$이다. 0의 경우 ${\displaystyle \operatorname {cf} 0=0}$이다. 따라서, 유한 정칙 기수는 0과 1 밖에 없다.

임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

• ${\displaystyle \operatorname {cf} \alpha =0}$
• ${\displaystyle \alpha =0}$

임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

• ${\displaystyle \operatorname {cf} \alpha =1}$
• ${\displaystyle \alpha }$는 따름 순서수이다.

이는 ${\displaystyle \{\alpha \}}$가 ${\displaystyle \alpha +1}$의 공종 집합이기 때문이다.

임의의 극한 순서수 ${\displaystyle \lambda }$에 대하여,

${\displaystyle \aleph _{\lambda }=\sum _{\alpha <\lambda }\aleph _{\alpha }}$

이므로

${\displaystyle \operatorname {cf} \aleph _{\lambda }=\operatorname {cf} \lambda }$

이다.

${\displaystyle \operatorname {cf} \aleph _{0}=\aleph _{0}}$이다. 또한, 모든 따름 기수는 정칙 기수이므로, 임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여

${\displaystyle \operatorname {cf} \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha +1}}$

이다.

정칙 기수가 아닌 가장 작은 무한 기수는 ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$이며,

${\displaystyle \operatorname {cf} \aleph _{\omega }=\operatorname {cf} \omega =\aleph _{0}}$

이다. 반면

${\displaystyle \aleph _{0}<\operatorname {cf} (2^{\aleph _{0}})}$

이므로,

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }}$

이다. 그러나 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$은 ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$보다 클 수도, 작을 수도 있다.

편의상 선택 공리를 가정하자. 다음과 같은 기수들은 정칙 기수이다.

• ${\displaystyle \aleph _{0}}$
• 임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여, ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$
• 임의의 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {cf} \kappa }$

실수의 전순서 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 공종도는 ${\displaystyle \operatorname {cf} (\mathbb {R} )=\aleph _{0}}$이다. 이는 자연수의 가산 무한 집합 ${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {R} }$이 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 공종 집합이기 때문이다.

확장된 실수의 전순서 집합 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}$의 공종도는 1이다. 이는 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$가 최대 원소 ${\displaystyle \infty }$를 갖기 때문이다.

집합 ${\displaystyle S}$의 진부분 집합들의 멱집합 ${\displaystyle \operatorname {Pow} (S)\setminus \{S\}}$의 공종도는 ${\displaystyle |S|}$이다. 이는 공종 집합

${\displaystyle \{S\setminus \{s\}\colon s\in S\}\subseteq \operatorname {Pow} (S)\setminus \{S\}}$

이 최소의 공종 집합이기 때문이다.

닫힌 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$의 공종도는 ${\displaystyle X}$의 극대 원소들의 동치류들의 수이다.

• “Ordinal number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Cofinality”. 《nLab》 (영어). 
• “Regular cardinal”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: cofinality”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: regular cardinal”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: singular cardinal”. 《ProofWiki》 (영어).