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집합론에서 가능 공종도(可能共終度, 영어: possible cofinalities, 약자 pcf)는 어떤 정칙 기수의 집합의 모든 가능한 초곱들의 공종도들의 집합이다.

정의

정칙 기수의 집합 $A$ 이 주어졌다고 하자. 각 기수는 순서수로, 즉 정렬 집합으로 여길 수 있다. 정렬 순서의 이론은 1차 논리로 서술할 수 없지만 전순서의 이론 $\langle \leq \rangle$ 은 1차 논리로 서술된다. 그렇다면, $A$ 를 전순서의 이론의 모형들의 집합으로 간주하였을 때, $A$ 의 임의의 극대 필터 ${\mathcal {U}}\subset {\mathcal {P}}(A)$ 를 잡아 초곱 $\prod A/{\mathcal {U}}$ 을 정의할 수 있다. 이는 워시 정리에 따라서 마찬가지로 전순서 집합을 이루지만, 일반적으로 정렬 집합이 아닐 수 있다. 순서수와 마찬가지로 전순서 집합의 공종도를 정의할 수 있다.

정칙 기수의 집합 $A$ 의 가능 공종도 $\operatorname {pcf} A$ 는 $A$ 의 모든 초곱들의 공종도의 집합이다.

\operatorname {pcf} A=\left\{\operatorname {cf} \left(\prod A/{\mathcal {U}}\right)\colon {\mathcal {U}}\in \operatorname {Ultrafilter} (A)\right\}

여기서 $\operatorname {Ultrafilter} (A)$ 는 $A$ 위의 극대 필터의 집합이다.

성질

임의의 정칙 기수의 집합 $A$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

$\operatorname {pcf} (A)$ 는 정칙 기수의 집합이다.
$A\subset \operatorname {pcf} (A)$ $A\subset \operatorname {pcf} (A)$ 이다.
- 이는 주 필터인 극대 필터를 고려하여 알 수 있다.

만약 $|A|<\min A$ 라면, 다음이 성립한다.

$|\operatorname {pcf} A|\leq 2^{|A|}$ ^[1]^{:4.3 Main Theorem}
$\max \operatorname {pcf} A$ 가 존재한다.^[1]^{:4.3 Main Theorem}
$\operatorname {pcf} \operatorname {pcf} A=\operatorname {pcf} A$ ^[2]^{:1.9 Lemma}

정칙 기수의 집합 $A$ 와 $B$ 에 대하여,

|A|<\min A

|B|<\min B

B\subset \operatorname {pcf} A

라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.^[1]^{:4.4 Localization Theorem}

$\operatorname {pcf} B\subset \operatorname {pcf} A$
임의의 $\kappa \in \operatorname {pcf} B$ $\kappa \in \operatorname {pcf} B$ 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 $C_{\kappa }\subset B$ $C_{\kappa }\subset B$ 가 존재한다.
- $|C|\leq |A|$
- $\kappa \in \operatorname {pcf} C$

역사

사하론 셸라흐가 1978년에 도입하였다.^[3]

응용

가능 공종도 이론을 사용하여, 기수의 기멜 함수의 다양한 상한을 증명할 수 있다. 기수의 거듭제곱은 기멜 함수 $\gimel \colon \kappa \mapsto \kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }$ 와 연속체 함수 $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$ 로 결정되는데, 후자는 이스턴 정리(영어: Easton’s theorem)에 따라 ZFC로 결정할 수 없는 반면, 전자에 대해서는 여러 가지의 성질을 증명할 수 있다.

각주

↑ ^가 ^나 ^다 Shelah, Saharon (1992). “Cardinal arithmetic for skeptics”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 26 (2): 197–210. arXiv:math/9201251. Bibcode:1992math......1251S. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00261-6. ISSN 0273-0979. MR 1112424.
↑ Burke, Maxim R.; Magidor, Menachem (1990년 12월 14일). “Shelah’s pcf theory and its applications”. 《Annals of Pure and Applied Logic》 (영어) 50 (3): 207–254. doi:10.1016/0168-0072(90)90057-9. ISSN 0168-0072. Zbl 0713.03024.
↑ Shelah, Saharon (1978년 3월). “Jonsson algebras in successor cardinals”. 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) 30 (1–2): 57–64. doi:10.1007/BF02760829. ISSN 0021-2172. MR 0505434.

Shelah, Saharon (2000년 11월 4일). “You can enter Cantor’s paradise!” (영어). arXiv:math/0102056. Bibcode:2001math......2056S.
Kojman, Menachem (2001). “PCF theory”. 《Topology Atlas Invited Contributions》 (영어) 6 (4): 74–77. arXiv:math/0501308. Bibcode:2005math......1308K. 2004년 12월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 5일에 확인함.
Kojman, Menachem (1995). “The A,B,C of pcf: a companion to pcf theory, Part I” (영어). arXiv:math/9512201. Bibcode:1995math.....12201K.

외부 링크

Wang, Frédéric (2012년 3월 15일). “Shelah’s PCF theory”. 《Blog de Frédéric》 (영어). 2015년 3월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2020년 2월 6일에 확인함.
Steffens, K. (2007). “Lectures on the foundations of pcf-theory” (PDF) (영어). 2007년 6월 13일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 1월 5일에 확인함.
Caceido, Andrés E. (2009년 3월 13일). “580 - Cardinal arithmetic (12)”. 《A Kind of Library》 (영어). 2015년 1월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 5일에 확인함.