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圏論という数学の分野において、与えられた2つの圏の間の関手たちは関手圏（かんしゅけん、英: functor category）と呼ばれる圏をなす。その対象は関手であり、射は関手の間の自然変換である^[1]。関手圏は主に2つの理由によって興味が持たれる：

よく現れる多くの圏は（暗に）関手圏であり、したがって一般の関手圏に対して証明された任意のステートメントは広く適用可能である；
すべての圏は（米田埋め込みによって）関手圏に埋め込まれる；関手圏はもとの圏よりもよい性質をしばしば持っており、もとの設定では利用可能ではなかった操作ができる。

定義

$C$ を小さい圏とし（すなわち対象たちや射たちは真クラスではなく集合をなす）、 $D$ を任意の圏とする。 $C$ から $D$ への関手全体のなす圏は、 $Fun(C, D)$ , $Funct(C, D)$ , $[C, D]$ , $D C$ などと書かれ、対象として $C$ から $D$ への共変関手を持ち、射としてそのような関手の間の自然変換を持つ。自然変換は合成できることに注意： $μ (X): F (X) \to G (X)$ が関手 $F : C \to D$ から関手 $G : C \to D$ への自然変換で、 $η (X): G (X) \to H (X)$ が関手 $G$ から関手 $H$ への自然変換であるとき、集まり $η (X) μ (X): F (X) \to H (X)$ は $F$ から $H$ への自然変換を定義する。自然変換のこの合成（垂直合成と呼ばれる；自然変換を参照）によって、 $D C$ は圏の公理を満たす。

全く同様に、 $C$ から $D$ への反変関手全体の圏を考えることもできる；これは $Funct(C op, D)$ と書かれる。

$C$ と $D$ がともに前加法圏（すなわち射の集合がアーベル群であり、射の合成が双線型）であれば、 $C$ から $D$ への加法的関手全体のなす圏を考えることができ、 $Add(C, D)$ と書かれる。

例

$I$ が小さい離散圏（すなわち射が恒等射のみ）のとき、 $I$ から $C$ への関手は本質的には $I$ で添え字付けられた $C$ の対象の族からなる；関手圏 $C I$ は対応する積圏と同一視できる：元は $C$ の対象の族で、射は $C$ の射の族である。
射圏（英語版） $C \to$ 対象は $C$ の射で、射は $C$ の可換正方形）は単に $C 2$ である、ただし $2$ は2つの対象を持ち恒等射と一方から他方への1つの射を持つ（逆向きの射は持たない）圏である。
有向グラフは矢印の集合と頂点の集合と、矢印の集合から頂点の集合への各矢印の始点と終点を決める2つの写像からなる。すべての有向グラフの圏はしたがって関手圏 $Set C$ に他ならない、ただし $C$ は2つの射で結ばれる2つの対象からなる圏であり、 $Set$ は集合の圏を表す。
任意の群 $G$ は対象が1つのすべての射が可逆な圏と考えることができる。すべての $G$ 集合の圏は関手圏 $Set G$ と同じである。
直前の例と同様に、群 $G$ の $k$ 線型表現の圏は関手圏 $k -Vect G$ と同じである（ただし $k -Vect$ は体 $k$ 上のすべてのベクトル空間の圏を表す）。
任意の環 $R$ は対象が1つの前加法圏と考えることができる； $R$ 上の左加群の圏は加法的関手圏 $Add(R, Ab)$ と同じであり（ただし $Ab$ はアーベル群の圏を表す）、右 $R$ 加群の圏は $Add(R op, Ab)$ である。この例により、任意の前加法圏 $C$ に対して、圏 $Add(C, Ab)$ を「 $C$ 上の左加群の圏」、 $Add(C op, Ab)$ を「 $C$ 上の右加群の圏」と呼ぶことがある。
位相空間 $X$ 上の前層の圏は関手圏である：位相空間を対象が $X$ の開集合で、 $U$ が $V$ に含まれるとき、かつそのときに限り $U$ から $V$ へのただ1つの射があるような圏 $C$ と思う。すると $X$ 上の集合（あるいはアーベル群、環）の前層の圏は $C$ から $Set$ （あるいは $Ab$ , $Ring$ ）への反変関手の圏と同じである。この例により、圏 $Funct(C op, Set)$ は、位相空間から生じない一般の圏 $C$ に対してさえも、「 $C$ 上の集合の前層の圏（英語版）」と呼ばれることがある。一般の圏 $C$ 上の層を定義するには、さらなる構造が必要である、すなわち $C$ 上のグロタンディーク位相である。（ $Set C$ に同値な圏を“前層圏”と呼ぶ著者もいる^[2]。）

事実

$D$ において実行できるほとんどの構成は、「成分ごと」に、 $C$ の各対象に対してバラバラに実行することで、 $D C$ においても実行できる。例えば、 $D$ の任意の2つの対象 $X$ と $Y$ が積 $X \times Y$ を持つとき、 $D C$ の任意の2つの関手 $F$ と $G$ は次で定義される積 $F \times G$ を持つ： $C$ の任意の対象 $c$ に対して $(F \times G)(c) = F (c) \times G (c).$ 同様に、 $η c : F (c)\to G (c)$ が自然変換で各 $η c$ が圏 $D$ において核 $K c$ をもつとき、関手圏 $D C$ における $η$ の核は、 $C$ のすべての $c$ に対して $K (c) = K c$ なる関手 $K$ である。

結果として、関手圏 $D C$ は $D$ のほとんどの「よい」性質を共有するという一般的 rule of thumb（英語版）がある：

$D$ が完備（あるいは余完備）ならば $D C$ もそうである。；
$D$ がアーベル圏ならば $D C$ もそうである；

また次も成り立つ：

$C$ が任意の小さい圏ならば、前層（英語版）の圏 $Set C$ はトポスである。

なので上の例から、有向グラフ、 $G$ 集合、位相空間上の前層の圏はすべて完備かつ余完備なトポスで、 $G$ の表現、環 $R$ 上の加群、位相空間 $X$ 上のアーベル群の前層の圏はすべてアーベル、完備、余完備であることがただちに結論付けられる。

先に述べた圏 $C$ の関手圏への埋め込みは主な道具として米田の補題を用いる。 $C$ の任意の対象 $X$ に対して、 $Hom(-, X)$ を $C$ から $Set$ への反変表現可能関手とする。米田の補題は割り当て

X\mapsto \operatorname {Hom} (-,X)

が圏 $C$ の圏 $Funct(C op, Set)$ への充満埋め込みであると言っている。したがって $C$ は自然にトポスの中にいる。

同じことは任意の前加法圏 $C$ に対して実行できる：すると米田は $C$ の関手圏 $Add(C op, Ab)$ への充満埋め込みを生む。したがって $C$ は自然にアーベル圏の中にいる。

上でのべた直感（ $D$ で実行できる構成は $D C$ に「持ち上げる」ことができること）はいくつかの方法で正確にできる；もっとも簡潔な定式化は随伴関手のことばを用いる。すべての関手 $F : D \to E$ は（ $F$ との合成により）関手 $F C : D C \to E C$ を誘導する。 $F$ と $G$ が随伴関手の対であるとき、 $F C$ と $G C$ もまた随伴関手の対である。