Teorema di unicità del sollevamento

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Il teorema di unicità del sollevamento è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia. Il teorema mostra una proprietà cruciale dei rivestimenti.

Enunciato del teorema

Il teorema di unicità del sollevamento asserisce che, se $Y$ è connesso, due sollevamenti coincidenti in un punto devono coincidere su tutti i punti (sono cioè la stessa funzione). In altre parole:

Siano dati un rivestimento fra spazi topologici

p:E\to X\,\!

ed una funzione continua

f:Y\to X\,\!

definita su uno spazio connesso $Y$ . Siano inoltre

g:Y\to E,\quad h:Y\to E

due sollevamenti della $f$ . Se esiste $y_{0}$ in $Y$ tale che $g(y_{0})=h(y_{0})$ allora $g(y)=h(y)$ per ogni $y$ in $Y$ .

Dimostrazione

Consideriamo l'insieme dei punti in cui i due sollevamenti coincidono:

A=\{y\in Y\ |\ g(y)=h(y)\}

Per ipotesi, $y_{0}$ è un elemento di $A$ . Mostriamo che $A$ ed il suo complementare $Y\setminus A$ sono entrambi aperti: poiché $Y$ è connesso, seguirà che $A=Y$ , e quindi che le due funzioni coincidono ovunque.

Dato $y$ in $Y$ , sia $V$ un aperto connesso uniformemente rivestito di $X$ contenente $f(y)$ . Siano $U_{g},U_{h}$ le componenti connesse in $p^{-1}(V)$ contenenti rispettivamente $g(y)$ e $h(y)$ . Consideriamo l'aperto di $Y$ :

W=g^{-1}(U_{g})\cap h^{-1}U_{h}.

Se $y$ appartiene ad $A$ , allora $g(y)=h(y)$ e quindi $U_{g}=U_{h}$ , e siccome la restrizione di $p$ all'aperto $U_{g}=U_{h}$ è iniettiva segue che $g(w)=h(w)$ per ogni $w$ in $W$ , e quindi $W$ è interamente contenuto in $A$ . Questo prova che $A$ è aperto.

Se $y$ non appartiene ad $A$ allora $U_{g}$ e $U_{h}$ sono disgiunti, e quindi lo sono anche $W$ ed $A$ : questo prova che il complementare di $A$ è aperto.

Generalizzazioni

Il teorema è valido anche se $p:E\to X$ è solo un omeomorfismo locale.

V · D · M

Topologia

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