Mapping class group

In matematica, e più precisamente in topologia, il mapping class group (letteralmente, gruppo delle classi di mappe) è un importante invariante algebrico di uno spazio topologico. Detto brevemente, è un gruppo discreto di "simmetrie" dello spazio.

Il termine "mapping class group" ha un utilizzo flessibile; nella maggior parte dei casi è usato riferendosi a una varietà M. Il mapping class group di M viene interpretato come il gruppo delle classi di isotopia degli automorfismi di M. Cioè, se M è una varietà topologica, il mapping class group di M è il gruppo delle classi di isotopia degli omeomorfismi da M in sé; se M è una varietà differenziabile, il mapping class group è il gruppo delle classi di isotopia dei diffeomorfismi da M in sé.

Ogni volta che ${\displaystyle \mathrm {Aut} (X)}$ (il gruppo degli automorfismi di uno spazio X) possiede una topologia naturale (nel caso di X spazio topologico, generalmente si tratta della topologia compatto-aperto), il mapping class group di uno spazio X è definito come il gruppo quoziente ${\displaystyle \mathrm {Aut} (X)/\mathrm {Aut} _{0}(X)}$, dove ${\displaystyle \mathrm {Aut} _{0}(X)}$ è la componente connessa di ${\displaystyle id_{X}}$, e assume quindi la topologia quoziente.

Nella letteratura riguardante la topologia in dimensione bassa, il mapping class group di X viene denotato di solito con ${\displaystyle MCG(X)}$. Altre volte viene denotato ${\displaystyle \pi _{0}Aut(X)}$, sostituendo ad ${\displaystyle Aut}$ la nozione appropriata di automorfismo per la categoria di cui X è un oggetto. ${\displaystyle \pi _{0}}$ in questo contesto denota lo 0-esimo gruppo di omotopia di uno spazio.

Si ha quindi la seguente successione esatta corta:

${\displaystyle 1\rightarrow {\rm {Aut}}_{0}(X)\rightarrow {\rm {Aut}}(X)\rightarrow {\rm {MCG}}(X)\rightarrow 1.}$

la quale, frequentemente, non spezza ^[1].

Se si sta lavorando nella

categoria di omotopia, il mapping class group di X è il gruppo delle classi di omotopia di equivalenze di omotopia di X.

Vi sono molti sottogruppi dei mapping class group che sono frequentemente studiati. Se M è una varietà orientata, ${\displaystyle Aut(M)}$ può essere considerato come il gruppo degli omeomorfismi o diffeomorfismi di M che ne preservano l'orientazione: è questa la definizione standard del mapping class group di una varietà orientata, chiamato anche gruppo modulare (${\displaystyle \mathrm {Mod} (M)}$), visto come generalizzazione del gruppo modulare classico. Il mapping class group definito a partire da omeomorfismi o diffeomorfismi che non preservano necessariamente l'orientazione è detto talvolta mapping class group generalizzato (e viene denotato ${\displaystyle {\rm {MCG}}^{\pm }(M)}$ o ${\displaystyle {\rm {Mod}}^{\pm }(M)}$). Chiaramente ${\displaystyle {\rm {Mod}}(M)}$ è un sottogruppo di ${\displaystyle {\rm {MCG}}^{\pm }(M)}$, di indice 2 se M ammette almeno un automorfismo che ne inverte l'orientazione.

Analogamente, il sottogruppo del mapping class group che agisce banalmente sull'omologia di M è detto gruppo di Torelli di M; può essere considerato come il mapping class group definito a partire dagli automorfismi di una varietà marcata non con un'orientazione ma tramite l'omologia.

In qualunque categoria (differenziabile, lineare a tratti, topologica, di omotopia)^[2] vale

${\displaystyle {\rm {MCG}}^{\pm }(S^{2})\simeq {\mathbb {Z} }/2{\mathbb {Z} },}$

corrispondente alle applicazioni di grado ${\displaystyle \pm 1}$.

Nella categoria dell'omotopia,

${\displaystyle {\rm {MCG}}(T^{n})\simeq {\rm {GL}}(n,{\mathbb {Z} }).}$

Ciò è dovuto al fatto che ${\displaystyle T^{n}=(S^{1})^{n}}$ è uno spazio di Eilenberg-MacLane.

Per ${\displaystyle n\geq 5}$ ^[3], ci sono successioni esatte che spezzano:

• nella categoria degli spazi topologici,

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\to MCG(T^{n})\to GL(n,\mathbb {Z} )\to 0}$

• nella categoria lineare a tratti,

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\to MCG(T^{n})\to GL(n,\mathbb {Z} )\to 0}$

• nella categoria differenziabile,

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\oplus \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\Gamma _{i+1}\to MCG(T^{n})\to GL(n,\mathbb {Z} )\to 0}$

dove i ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ sono i gruppi abeliani finiti di Kervaire-Milnor delle sfere di omotopia, e ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ è il gruppo di ordine 2.

I mapping class group delle superfici sono stati ampiamente studiati. Citiamo qui solo alcuni risultati:

• il teorema di Dehn-Nielsen-Baer afferma che per ogni superficie (topologica o differenziabile) S compatta, chiusa, orientata, di genere almeno 1, l'omomorfismo naturale ${\displaystyle {\rm {MCG}}^{\pm }(S)\rightarrow {\rm {Out}}(\pi _{1}(S))}$ è un isomorfismo (${\displaystyle {\rm {Out}}(\pi _{1}(S))}$ è il gruppo degli automorfismi esterni di S).

• se S è una varietà senza bordo, si definisce il mapping class group puro di S come il sottogruppo di ${\displaystyle {\rm {Mod}}(S)}$ degli automorfismi che fissano ogni puntura di S. il teorema di Dehn afferma che tale sottogruppo è generato da un numero finito di Dehn twists attorno a curve su S che non la sconnettono.

• è noto che ogni gruppo finito è sottogruppo del mapping class group di un'opportuna superficie orientabile e chiusa^[4]. Inoltre è possibile realizzare ogni gruppo finito come gruppo delle isometrie di qualche superficie di Riemann compatta.

Alcune superfici non orientabili hanno mapping class groups con presentazioni semplici. Per esempio, ogni omeomorfismo del piano proiettivo reale ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}\mathbb {R} }$ è isotopo all'identità:

${\displaystyle {\rm {MCG}}(\mathbb {P} ^{2}\mathbb {R} )=1.}$

Il mapping class group della bottiglia di Klein ${\displaystyle K}$ è:

${\displaystyle {\rm {MCG}}(K)={\mathbb {Z} }/2{\mathbb {Z} }\oplus {\mathbb {Z} }/2{\mathbb {Z} }.}$

i quattro elementi sono l'identità, un Dehn twist attorno alla curva che non borda un nastro di Möbius (e che quindi ha due lati), lo y-omeomorfismo di Lickorish, e la composizione di questi ultimi due. Mostrare che il Dehn twist al quadrato è isotopo all'identità è un esercizio interessante.

Inoltre, la superficie chiusa compatta non orientabile di genere 3 ha:

${\displaystyle {\rm {MCG}}(N_{3})={\rm {GL}}(2,{\mathbb {Z} }).}$

Questo perché ${\displaystyle N_{3}}$ ha un'unica curva con un lato solo (cioè, tale che un suo intorno piccolo è omeomorfo al nastro di Möbius); tagliando la superficie lungo questa, si ottiene un toro con una componente di bordo. Ciò viene discusso in un articolo di Martin Scharlemann.

Anche i mapping class group delle 3-varietà sono stati molto studiati, e sono fortemente legati a quelli delle 2-varietà. Per esempio, ogni gruppo finito può essere realizzato come il mapping class group (e anche il gruppo di isometrie) di una 3-varietà iperbolica^[5].

Data una coppia di spazi ${\displaystyle (X,A)}$, il mapping class group della coppia è costituito dalle classi di isotopia degli automorfismi della coppia, dove un automorfismo di ${\displaystyle (X,A)}$ è definito come un automorfismo di X che preserva A: vale a dire, ${\displaystyle f:X\to X}$ è invertibile e ${\displaystyle f(A)=A}$.

Se ${\displaystyle K\subset S^{3}}$ è un nodo o un link, il gruppo di simmetria del nodo (o link) è definito come il mapping class group cella coppia ${\displaystyle (S^{3},K)}$. È noto che il gruppo di simmetria di un nodo iperbolico è diedrale o ciclico, e che ogni gruppo diedrale o ciclico può essere realizzato come gruppo di simmetria di nodi. Il gruppo di simmetria di un nodo torico è ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Il mapping class group induce un'azione sull'omologia (e sulla coomologia) di uno spazio X: infatti la (co) omologia è funtoriale e ${\displaystyle {\rm {Aut}}_{0}}$ agisce banalmente (tutti i suoi elementi sono isotopi all'identità, e l'azione sulla (co) omologia è invariante per omotopia).

Il nucleo di quest'azione è il "gruppo di Torelli", indicato con ${\displaystyle {\rm {Tor}}(X)}$

Nel caso di una superficie orientabile ${\displaystyle \Sigma }$ di genere g, l'azione di cui sopra è di fatto l'azione sul primo gruppo di omologia ${\displaystyle H^{1}(\Sigma )\cong \mathbb {Z} ^{2g}}$, in quanto le applicazioni che preservano l'orientazione sono esattamente quelle che agiscono banalmente sul gruppo di coomologia più elevato ${\displaystyle H^{2}(\Sigma )\cong \mathbb {Z} }$. ${\displaystyle H^{1}(\Sigma )}$ possiede una struttura simplettica, proveniente dal prodotto cup; visto che le applicazioni che stiamo considerando sono automorfismi, e preservano il prodotto cup, il mapping class group agisce tramite automorfismi simplettici; e tutti gli automorfismi simplettici vengono realizzati. Si ha quindi una successione esatta corta:

${\displaystyle 1\to {\mbox{Tor}}(\Sigma )\to {\mbox{MCG}}(\Sigma )\to {\mbox{Sp}}(H^{1}(\Sigma ))\cong {\mbox{Sp}}_{2g}(\mathbb {Z} )\to 1}$

che può essere estesa a

${\displaystyle 1\to {\mbox{Tor}}(\Sigma )\to {\mbox{MCG}}^{\pm }(\Sigma )\to {\mbox{Sp}}^{\pm }(H^{1}(\Sigma ))\cong {\mbox{Sp}}_{2g}^{\pm }(\mathbb {Z} )\to 1}$

Il gruppo simplettico ha una struttura in gran parte conosciuta, dunque il problema di capire la struttura algebrica del mapping class group spesso si riconduce a problemi sul gruppo di Torelli.

Si noti che per il toro (${\displaystyle g=1}$), l'applicazione verso il gruppo simplettico è un isomorfismo, e il gruppo di Torelli è nullo.

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La superficie orientabile ${\displaystyle \Sigma _{g,1}}$ di genere g e a bordo connesso può essere inclusa con un embedding in ${\displaystyle \Sigma _{g+1,1}}$ attaccando un ulteriore buco alla fine (vale a dire, incollando fra loro ${\displaystyle \Sigma _{1,1}}$ e ${\displaystyle \Sigma _{g,2}}$); dunque gli automorfismi della superficie più piccola che lasciano invariati i punti del bordo si estendono alla superficie più grande. Il limite diretto dei gruppi ${\displaystyle {\rm {MCG}}(\Sigma _{g,1})}$ al variare di g è detto mapping class group stabile. L'anello di coomologia di tale gruppo^{[non chiaro]} è stato congetturato da David Mumford. L'anello di coomologia su ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ è stato calcolato nel 2002 da Ib Madsen e Michael Weiss, provando la congettura di Mumford.

• Joan Birman, Braids, Links, and Mapping Class Groups.
• Andrew Casson, Steve Bleiler, Automorphisms of surfaces after Nielsen and Thurston.
• Nikolai V. Ivanov, "Mapping Class Groups", in Handbook of Geometric Topology.
• Benson Farb, Dan Margalit, A Primer on Mapping Class Groups
• Athanase Papadopoulos (a cura di), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol. 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2007, DOI:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR 2284826.
• Athanase Papadopoulos (a cura di), Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol. 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2009, DOI:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, MR 2524085.

• Ib Madsen, Michael S. Weiss, The stable moduli space of Riemann surfaces: Mumford's conjecture, 2002

  pubblicato come: Ib Madsen, Michael S. Weiss, The stable moduli space of Riemann surfaces: Mumford's conjecture, 2007, Annals of Mathematics

• Gruppo di omotopia

• Madsen-Weiss MCG Seminar per ulteriori riferimenti.

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