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In matematica, in particolare nella topologia degli spazi metrici, il teorema di Heine–Borel è un teorema che caratterizza gli spazi compatti in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Prende il nome dai matematici Eduard Heine e Émile Borel.

Il teorema di Heine-Borel afferma che se ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, allora ${\displaystyle E}$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Alla luce di questo teorema, in analisi reale la seconda proprietà (chiusura e limitatezza) viene a volte utilizzata come definizione di compattezza. L'equivalenza tuttavia cessa di esser vera su sottospazi di spazi metrici (e topologici) più generali; in un qualunque spazio metrico, comunque, la compattezza rimane condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché un insieme sia chiuso e limitato.

Si dimostra il teorema in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, è poi possibile estendere la dimostrazione in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Si consideri un insieme ${\displaystyle A}$ limitato, cioè contenuto in una palla ${\displaystyle B(x_{0},r)}$ a sua volta contenuta in una palla più grande ${\displaystyle C(0,R)}$. Si consideri una successione in ${\displaystyle A}$, che essendo in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ avrà due coordinate:

${\displaystyle X_{k}=(X_{k1},X_{k2}),\quad \forall k\in \mathbb {N} }$

e tale che:

${\displaystyle \forall y\in B,d(y,X_{0})<r,\qquad d(y,0)\leq d(y,x_{0})+d(x_{0},0)<R.}$

Si ha:

${\displaystyle |X_{k1}|\leq d(X_{k},0)\leq R,\qquad |X_{k2}|\leq d(X_{k},0)\leq R.}$

Essendo quindi ${\displaystyle X_{k1}}$ limitata, per il teorema di Bolzano-Weierstrass è possibile estrarre una sottosuccessione che converga:

${\displaystyle X_{kh_{1}}\rightarrow X_{0_{1}}}$

Estraendo una sottosuccessione ${\displaystyle X_{kh_{2}}}$ di ${\displaystyle X_{k2}}$ convergente, non è detto che converga per stessi indici di ${\displaystyle X_{kh_{1}}}$. Si estraggono allora altre due sottosuccessioni convergenti (lo sono tutte) con gli stessi indici:

${\displaystyle X_{khj_{1}}\rightarrow X_{0_{1}},\qquad X_{khj_{2}}\rightarrow X_{0_{2}}.}$

Si ha quindi:

${\displaystyle X_{k}=(X_{khj_{1}},X_{khj_{2}})\rightarrow (X_{0_{1}},X_{0_{2}})=X_{0}.}$

Per dimostrare che ${\displaystyle X_{0}\in A}$, si considera una successione ${\displaystyle X_{k}}$ appartenente ad ${\displaystyle A}$.

Per assurdo si ponga che ${\displaystyle X_{0}\notin A}$ e ${\displaystyle A^{C}}$. Se ${\displaystyle A}$ è chiuso, ${\displaystyle A^{C}}$ è aperto, quindi esiste una palla ${\displaystyle B(X_{0},D)}$ contenuta in ${\displaystyle A^{C}}$. Esiste pertanto un ${\displaystyle k'}$ tale che per ${\displaystyle k>k'}$ ${\displaystyle X_{k}}$ appartiene a ${\displaystyle B,}$ il che è assurdo, perché ${\displaystyle X_{k}}$ non può appartenere sia a ${\displaystyle B}$ che ad ${\displaystyle A}$.

Una conseguenza notevole di questo teorema è la compattezza della sfera in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Infatti questa è chiusa, poiché è un luogo di zeri di una funzione continua (ad esempio ${\displaystyle f(x)=||x||-1}$), ed è limitata. Analogamente la palla unitaria chiusa di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, essendo limitata e ovviamente chiusa, è compatta.

Da ciò segue che ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, non essendo compatto, non è omeomorfo alla palla unitaria chiusa in esso contenuta.

Sia ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ un compatto. Si consideri il ricoprimento di palle aperte:

${\displaystyle {\mathcal {R}}=\{B_{n}(0):n\in \mathbb {N} \}.}$

Esso deve ammettere un sottoricoprimento finito ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, dunque ${\displaystyle K}$ è contenuto nella palla di raggio massimo appartenente a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Da ciò segue che ${\displaystyle K}$ è limitato. Inoltre i compatti in uno spazio di Hausdorff sono chiusi, dunque ${\displaystyle K}$ è anche chiuso.

Viceversa, supponiamo che ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ sia chiuso e limitato. Allora ${\displaystyle K\subseteq {\overline {B_{r}(0)}}}$. Ma la n-palla è omeomorfa all'n-cubo:

${\displaystyle K\subseteq {\overline {B_{r}(0)}}\simeq [0,1]^{n}.}$

Si può provare facilmente che ${\displaystyle [0,1]}$ è compatto anche senza il teorema di Heine-Borel, dunque l'n-cubo è compatto, perché prodotto di compatti (teorema di Tychonoff).

Si ha quindi che anche ${\displaystyle {\overline {B_{r}(0)}}}$ è compatta e quindi ${\displaystyle K}$ è un sottospazio chiuso di uno spazio compatto (si noti che essendo ${\displaystyle {\overline {B_{r}(0)}}}$ chiuso, ${\displaystyle K}$ è chiuso non solo in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ma anche nella topologia indotta sulla palla), dunque ${\displaystyle K}$ è compatto.

Il teorema può essere esteso agli spazi metrici nelle seguenti forme.

Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato.^[1]

Un sottospazio di uno spazio metrico completo è compatto se e solo se è chiuso e totalmente limitato. Dim: è sufficiente provare che un sottospazio di uno spazio metrico completo è a sua volta completo se e solo se è chiuso.

Il teorema si applica anche agli spazi vettoriali sul campo reale o complesso di dimensione finita. Cessa di esser valido in spazi di dimensione infinita. Anzi, si può dimostrare che esso è vero se e solo se lo spazio vettoriale (reale o complesso) è di dimensione finita.

• Heine-Pincherle-Borel, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Heine-Borel theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Heine-Borel, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Teorema di Heine-Borel, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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