Nato a Christchurch, Armstrong ha iniziato a correre sui kart nel 2010, vincendo importanti titoli a partire dal 2011. Il suo esordio in monoposto è datato 2014 nella stagione 2014-15 del campionato neozelandese di Formula Ford.
Formula Toyota
Nel novembre 2016 Armstrong è stato tra i cinque piloti invitati a partecipare alla Ferrari Driver Academy ed è stato confermato come membro il mese successivo.[3] Nello stesso mese, è stata confermata la sua partecipazione alla Formula Toyota 2017 con la M2 Competition, dove ha ottenuto tre vittorie e si è classificato quarto.[4] Nel 2019 torna a correre nella Formula Toyota sempre con il team M2 Competition. Armstrong ha ottenuto cinque vittorie, ma ha perso il titolo nell'ultima gara in Nuova Zelanda contro il connazionale Liam Lawson.[5][6]
Formula 4
Nel febbraio 2017 è stato annunciato che Armstrong avrebbe corso sia nel campionato ADAC F4 che in quello italiano di F4 con Prema Powerteam.[7] Con sette vittorie in entrambe le serie, Armstrong si è classificato secondo nell'ADAC F4 e campione italiano di F4 2017.[8]
L'anno successivo, Armstrong passa al nuovo campionato FIA di Formula 3 e lo fa sempre alla guida di una Prema.[12] Nell'aprile 2019, Armstrong si è unito al programma All Road Management di Nicolas Todt.[13] Nel campionato di F3, Armstrong ha ottenuto due vittorie in volata consecutive all'Hungaroring e a Spa-Francorchamps e una vittoria a Soci. Ha concluso al secondo posto dietro al compagno di squadra Robert Shwartzman.[14][15][16][17] Nel novembre 2019, Armstrong è tornato a disputare il Gran Premio di Macao, finendo ottavo dopo essere partito diciassettesimo sulla griglia di partenza.[18]
Nel 2021 Armstrong continua a correre nel Campionato FIA di Formula 2 ma cambia team, passa alla DAMS[23]. Ottiene il primo podio con la nuova squadra in gara 2 a Silverstone. In gara uno del weekend di Gedda Armstrong riesce a vincere la sua prima gara in Formula 2, arrivando davanti al connazionale Liam Lawson[24].
Nell'ottobre del 2022 Armstrong partecipa a un test collettivo per Rookie della IndyCar Series a Sebring. Il neozelandese prova la Dallara IR18 del team Dale Coyne Racing[33]. Per la stagione 2023, Armstrong si unisce al team Chip Ganassi Racing, guidando la vettura numero 11 nei circuiti stradali e cittadini evitando le corse sugli ovali[34]. Nella sua prima stagione negli Stati Uniti, Armstrong ottiene cinque piazzamenti nella top 10 e viene eletto Rookie of the Year.
L'anno seguente viene confermato dal team Ganassi e a differenza del 2023 correrà full time[35]. Dopo un ottimo quinto posto a Indianapolis, sul Circuito di Detroit ottiene il suo primo podio nella serie arrivando terzo[36]. Anche al Exhibition Place di Toronto ottiene un altro ottimo quinto posto.