Finnur fæddist á Akureyri. Foreldrar hans voru Jón Borgfirðingur (1826–1912) fræðimaður, og kona hans Anna Guðrún Eiríksdóttir.
Finnur varð stúdent frá Reykjavíkurskóla 1878, tók próf í málfræði við Kaupmannahafnarháskóla 1883 og varð Dr. phil. þar 6. nóvember 1884 með ritgerðinni Kritiske studier over en del af de ældste norske og islandske skjaldekvad.
Kona Finns (gift 1885) var Emma Heraczek. Sonur þeirra var Jón kaupmaður í Óðinsvéum.
Starfsferill
Finnur hóf háskólakennslu 1885, varð dósent við Hafnarháskóla 1887 og prófessor í norrænni textafræði 1898, skipaður 1911, fékk lausn frá störfum sökum aldurs 1928 en hélt áfram fræðistörfum til dauðadags.
Finnur hafði vart lokið námi þegar hann hóf sín umfangsmiklu útgáfu- og fræðistörf. Hér skulu nokkur nefnd:
Þegar Finnur varð sjötugur, gáfu vinir hans og samstarfsmenn út afmælisrit honum til heiðurs: Festskrift til Finnur Jónsson 29. maj 1928. Fyrri hluti þess er einnig til sérprentaður: Sagastudier, af Festskrift til Finnur Jónsson.
Finnur arfleiddi Háskóla Íslands að hinu mikla bókasafni sínu.
Fræðileg viðhorf
Finnur Jónsson var fremur íhaldssamur og jarðbundinn í viðhorfum til þeirra fræða sem hann stundaði, og forðaðist málalengingar og heimspekilegar vangaveltur um hluti sem erfitt var að sanna. Hann lýsti andstöðu við hugmyndir Sophusar Bugge um fornensk (engilsaxnesk) og írsk áhrif á norræna fornmenningu. Hann viðurkenndi erlend áhrif, en taldi að þau hefðu komið úr suðri, frekar en vestan um haf. Hvað snertir uppruna Eddukvæða, taldi hann að þau væru forn og ættu flest rætur í Noregi, en mætti þar andstöðu frá Sophus Bugge og Birni M. Ólsen, sem töldu að þau væru ort á Íslandi.
Helstu rit Finns Jónssonar
Bækur
Stutt íslenzk bragfræði. (1884)
Kritiske studier over en del af de ældste norske og islandske skjaldekvad. (1884) Doktorsrit.
Islands grammatiske litteratur i middelalderen. (1886)
Íslendingabóc es Are prestr Thorgilsson gørthe. (1887)
Egils Saga Skallagrímssonar tilligemed Egils større kvad. (1886–1888)
Edda Saemundar 1–2. (1888–1890)
Ágrip af bókmenntasögu Íslands. (1891)
Hauksbók udgiven efter de Arnamagnaeanske håndskrifter No. 371, 544 og 675, 4to samt forskellige papirshåndskrifter. (1892–1896)
Carmina norrœna : Rettet tekst. Trykt som manuskript til brug ved forelæsninger. (1893)
Den oldnorske og oldislandske Litteraturs Historie. 1–3. (1894–1902). Önnur útgáfa endurskoðuð (1920–1924)
De bevarede brudstykker af skindbøgerne Kringla og Jöfraskinna i fototypisk gengivelse. (1895)
Flateyjarbók : (Codex Flateyensis). Ms. no. 1005 fol. in the old royal collection in the Royal Library of Copenhagen. Photolithographic reproduction. With an introduction by Finnur Jónsson. (1930)
Ævisaga Árna Magnússonar. (1930)
Island fra sagatid til nutid. (1930)
Rune inscriptions from Gardar. (1930)
Det gamle Grønlands beskrivelse af Ívar Bárdarson. (1930)
Saga Óláfs Tryggvasonar af Oddr Snorrason Munk. (1932)
De gamle eddadigte. (1932)
Austrfararvísur. (1932)
Flóamannasaga. (1932)
Den islandske grammatiks historie til o. 1800. (1933)
Bandmannasaga med Oddsþáttr. Ölkofra þáttr. (1933)
Seks afhandlinger om eddadigtene. (1933)
Tekstkritiske bemærkninger til Skjaldekvad. (1934)
Vatsdæla saga. (1934)
Ævisaga Finns Jónssonar eftir sjálfan hann. (1936)