בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פולינום (בעברית: רב־איבר^[1]) במשתנה ${\displaystyle \ x}$ הוא ביטוי מהצורה ${\displaystyle \ a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}}$ כאשר ${\displaystyle \ a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$ הם קבועים; למשל, ${\displaystyle 3x^{2}+7x-5}$. באותו אופן אפשר להגדיר פולינום בכל משתנה אחר (${\displaystyle \ y^{9}-y}$ הוא פולינום במשתנה ${\displaystyle y}$), וגם פולינומים בכמה משתנים, כמו ${\displaystyle \ x^{3}yz+xy^{3}z-2xy}$.

פולינום שבו המקדמים הם מספרים ממשיים נקרא פולינום ממשי. באופן כללי יותר, המקדמים עשויים להיות איברים בשדה (או חוג) כלשהו ${\displaystyle F}$, ואז מדובר ב"פולינום מעל ${\displaystyle F}$".

המחוברים ${\displaystyle \ a_{k}x^{k}}$ נקראים מונומים. במונום כזה, ${\displaystyle k}$ היא החזקה או המעריך, והקבוע ${\displaystyle \ a_{k}}$ הוא המקדם. החזקה הגבוהה ביותר המופיעה בפולינום ${\displaystyle p}$ היא המעלה (או דרגה) של הפולינום, ומסמנים אותה ב־${\displaystyle \deg p(x)}$. המחובר ${\displaystyle \ a_{0}}$ נקרא המקדם החופשי ו־${\displaystyle \ a_{n}}$ נקרא המקדם המוביל של הפולינום. אם המקדם המוביל שווה ל־${\displaystyle 1}$, אז הפולינום נקרא פולינום מתוקן. לדוגמה, ${\displaystyle \ 3x^{2}+5x+12}$ הוא פולינום ממעלה שנייה, שהמקדם המוביל שלו הוא ${\displaystyle 3}$.

אם מקדמי הפולינום ${\displaystyle \ p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$ שייכים לשדה ${\displaystyle \ F}$, אז הוא מגדיר פונקציה פולינומית ${\displaystyle f\colon F\rightarrow F}$ באמצעות הצבה: ${\displaystyle \ p(b)=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_{1}b+a_{0}}$. למשל, אם ${\displaystyle \ p(x)=x^{2}+4}$ אז ${\displaystyle \ p(3)=3^{2}+4=13}$.

פונקציה מהצורה ${\displaystyle f(x)={\frac {p_{1}(x)}{p_{2}(x)}}}$, כאשר ${\displaystyle \ p_{1}(x),p_{2}(x)}$ הם פולינומים, נקראת פונקציה רציונלית.

פונקציה פולינומית אפשר לחשב במספר סופי של פעולות חיבור וכפל; משום כך יש לפולינומים (מעל הממשיים או המרוכבים) תפקיד מרכזי בתורת הקירובים.

ניתן לרשום פולינום כסכום בצורה הבאה: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$

ערך מורחב – היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות

שורש (או אפס) של פולינום ${\displaystyle \ f(x)}$ הוא ערך ${\displaystyle \ r}$ שעבורו מתקיים ${\displaystyle \ f(r)=0}$. מציאת השורשים של פולינום היא מהבעיות העתיקות ביותר במתמטיקה.

פולינום ממעלה שנייה, כלומר פולינום מהצורה ${\displaystyle \ ax^{2}+bx+c}$ ידוע בשם פולינום ריבועי. שיטה לפתרון משוואה ריבועית הייתה ידועה ליוונים הקדמונים, ואף קודם לכן לבבלים. רק במאה ה־16 נמצאה שיטה לפתרון כללי של משוואה ממעלה שלישית ורביעית: בשנת 1545 פרסם ג'ירולמו קרדאנו ספר שבו ייחס את השיטה לפתרון משוואה ממעלה שלישית לטרטליה, ואת השיטה לפתרון משוואה ממעלה רביעית יחס לתלמידו (של קרדאנו), לודוביקו פרארי. בתחילת המאה ה־19 הוכיחו נילס הנריק אבל ואווריסט גלואה שאין נוסחה כללית לשורש של פולינום שמעלתו גדולה מ־4, באמצעות פעולות השדה (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) וחישוב רדיקלים (כלומר, הוצאת שורש מכל סדר).

לכל פולינום ממעלה אי זוגית עם מקדמים ממשיים יש שורש ממשי, כפי שניתן לראות מיידית ממשפט ערך הביניים. לפולינומים ממעלה זוגית, כגון ${\displaystyle x^{2}+1}$, אין שורש ממשי, אך תמיד יש שורש מרוכב. לפי המשפט היסודי של האלגברה לכל פולינום ממעלה ${\displaystyle n}$ יש בדיוק ${\displaystyle n}$ שורשים (לרבות חזרות) בשדה המספרים המרוכבים.

כאשר המקדמים ${\displaystyle a_{i}}$ של הפולינום הם מספרים רציונליים, שורשיו נקראים מספרים אלגבריים. מספר טרנסצנדנטי (כמו פאי) הוא מספר כזה שאינו שורש של אף פולינום שמקדמיו רציונליים.

את הפתרונות הרציונליים של פולינום במקדמים שלמים אפשר למצוא באמצעות המשפט הבא: יהי ${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$ פולינום שכל מקדמיו שלמים. נניח ש ${\displaystyle {\frac {c}{d}}\in \mathbb {Q} }$ מספר רציונלי שהוא שורש של הפולינום ${\displaystyle p(x)}$. אזי מתקיים: ${\displaystyle c}$ מחלק את ${\displaystyle a_{0}}$ ו־${\displaystyle d}$ מחלק את ${\displaystyle a_{n}}$.

המשפט מספק קבוצה סופית של פתרונות אפשריים, שאותם ניתן לבדוק בהצבה ישירה.

ערך מורחב – חוג פולינומים

קבוצת כל הפולינומים מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$ או חוג ${\displaystyle R}$ נתון מהווה חוג, ומסומנת לרוב ב ${\displaystyle \mathbb {F} [x]}$ או ${\displaystyle \ R[x]}$ בהתאמה. מעל שדה, החוג מהווה חוג אוקלידי. נדון בקצת מתכונותיהן:

• אם ${\displaystyle \ x_{0}}$ שורש של פולינום ${\displaystyle \ p}$ (כלומר, ${\displaystyle p(x_{0})=0}$) אזי הוא שורש של הפולינום ${\displaystyle q=\lambda p}$ לכל סקלר ${\displaystyle \ \lambda }$. כיוון ש־ ${\displaystyle \ q(x)=\lambda p(x)=\lambda 0=0}$.
• אם ${\displaystyle \ x_{0}}$ הוא שורש של הפולינומים ${\displaystyle \ p,q}$, (כלומר, ${\displaystyle p(x_{0})=q(x_{0})=0}$) אזי הוא גם השורש של סכומם ${\displaystyle \ p+q}$, כיוון ש־${\displaystyle [q+p](x_{0})=q(x_{0})+p(x_{0})=0+0=0}$.

לכן, קבוצת כל הפולינומים ממעלה ${\displaystyle \ n}$ אשר ${\displaystyle \ x}$ הוא שורש שלהם מהווים מרחב וקטורי ביחס לפעולות חיבור וכפל בסקלר.

נתונים פולינום ${\displaystyle \ p,q}$, כך שמעלת ${\displaystyle \ q}$ גדולה ממעלת ${\displaystyle \ p}$. אזי תמיד אפשר לרשום

${\displaystyle \ q=s\cdot p+r}$

כאשר ${\displaystyle s}$ נקרא פולינום המנה ו־${\displaystyle r}$ נקרא פולינום השארית ומעלתו קטנה מהמעלה של ${\displaystyle \ p}$. פולינום המנה ${\displaystyle \ s}$ ופולינום השארית ${\displaystyle \ r}$ נקבעים ביחידות. נאמר ש־${\displaystyle \ q}$מתחלק ב־${\displaystyle \ p}$אם ורק אם ${\displaystyle r=0}$. באמצעות חילוק בשארית קל להיווכח בטענה חשובה: המספר ${\displaystyle \ c}$ הוא שורש של הפולינום ${\displaystyle \ p(x)}$ אם ורק אם הביטוי ${\displaystyle (x-c)}$ מחלק את ${\displaystyle p}$.

לעיתים ניתן לקבוע אם פולינום שמקדמיו שלמים ניתן לפירוק כמכפלת שני פולינומים בעזרת קריטריון איזנשטיין.

שדה השברים הנוצר מהחוג ${\displaystyle \mathbb {F} [x]}$ הוא קבוצת כל הפונקציות הרציונליות, המסומנת ב ${\displaystyle \mathbb {F} (x)}$. אלו כל הביטויים מהצורה ${\displaystyle {\frac {p(x)}{q(x)}}}$, כאשר ${\displaystyle \ p,q\in \mathbb {F} [x]}$.

ניתן להכליל את מושג הפולינום לפולינמים במספר משתנים. פולינום ב־2 משתנים ${\displaystyle \ x,y}$, לדוגמה, הוא ביטוי מהצורה ${\displaystyle \sum _{m,n}a_{m,n}x^{n}\cdot y^{m}}$. בצורה דומה ניתן להגדיר פולינום ב־${\displaystyle n}$ משתנים.

קבוצת כל הפולינומים ב־${\displaystyle n}$ משתנים מעל חוג היא עדיין חוג, אך עבור ${\displaystyle n>1}$ זהו אינו חוג ראשי. חוג הפולינומים באינסוף משתנים אינו חוג נותרי.

תת־קבוצה חשובה של פולינומים במספר משתנים הם הפולינומים הסימטריים. פולינום ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{n})}$ ב־${\displaystyle n}$ משתנים ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ נקרא סימטרי אם לכל תמורה ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ מתקיים

${\displaystyle f\left(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},...,x_{\sigma (n)}\right)=f\left(x_{1},...,x_{n}\right)}$.

כל פולינום סימטרי ניתן להצגה כפולינום ב־${\displaystyle s_{1},...,s_{n}}$ כאשר ${\displaystyle s_{1},...,s_{n}}$ הם הפולינומים הסימטריים האלמנטריים ב־${\displaystyle n}$ משתנים. לדוגמה, עבור ${\displaystyle n=3}$ הפולינומים הסימטריים האלמנטריים הם:

• ${\displaystyle s_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}}$
• ${\displaystyle s_{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}$
• ${\displaystyle s_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}}$

• מונום
• חילוק פולינומים
• פולינום אופייני
• פולינום לז'נדר
• פולינום טיילור

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: פולינום
ספר לימוד בוויקיספר: רב איבר
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: פולינום

• פולינום, באתר MathWorld (באנגלית)
• כלי לחילוק פולינומים
• ד"ר ארז גרטי, מציג גרפים - פולינומים, באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 5 בנובמבר 2011
• פולינום, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• טבעות פולינומיות, דף שער בספרייה הלאומית

מרחבי פונקציות והכללותיהן

היפר-פונקציות     ${\displaystyle C^{-\infty }}$ פונקציות מוכללות מתונות ${\displaystyle C_{c}^{-\infty }}$                        ${\displaystyle L_{loc}^{1,-s}}$ ${\displaystyle L^{1,-s}}$ ${\displaystyle L_{c}^{1,-s}}$            ${\displaystyle L_{loc}^{p,-s}}$ ${\displaystyle L^{p,-s}}$ ${\displaystyle L_{c}^{p,-s}}$         מידות[1] מידות[1] נתמכות קומפקטית ${\displaystyle L_{loc}^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L_{c}^{1}}$ ${\displaystyle L_{loc}^{p}}$ ${\displaystyle L_{}^{p}}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}}$         ${\displaystyle L_{loc}^{1,s}}$ ${\displaystyle L^{1,s}}$ ${\displaystyle L_{c}^{1,s}}$ ${\displaystyle L_{loc}^{p,s}}$ ${\displaystyle L^{p,s}}$ ${\displaystyle L_{c}^{p,s}}$ ${\displaystyle L_{loc}^{2,s}}$ ${\displaystyle L_{loc}^{2}}$ ${\displaystyle L_{loc}^{2,-s}}$                   ${\displaystyle L^{2,s}}$ ${\displaystyle L^{2,-s}}$      ${\displaystyle L^{2}}$            ${\displaystyle L_{c}^{2,s}}$ ${\displaystyle L_{c}^{1}}$ ${\displaystyle L_{c}^{1,-s}}$         ${\displaystyle C_{c}^{-s}}$ ${\displaystyle C^{-s}}$ ${\displaystyle L_{c}^{\infty ,-s}}$ ${\displaystyle L^{\infty ,-s}}$ ${\displaystyle L_{loc}^{\infty ,-s}}$ ${\displaystyle L_{c}^{q,-s}}$ ${\displaystyle L^{q,-s}}$ ${\displaystyle L_{loc}^{q,-s}}$             ${\displaystyle C_{c}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L_{c}^{\infty }}$ ${\displaystyle L_{}^{\infty }}$ ${\displaystyle L_{loc}^{\infty }}$ ${\displaystyle L_{c}^{q}}$ ${\displaystyle L_{}^{q}}$ ${\displaystyle L_{loc}^{q}}$         ${\displaystyle C_{c}^{s}}$ ${\displaystyle C^{s}}$ ${\displaystyle L_{c}^{\infty ,s}}$ ${\displaystyle L^{\infty ,s}}$ ${\displaystyle L_{loc}^{\infty ,s}}$ ${\displaystyle L_{c}^{q,s}}$ ${\displaystyle L^{q,s}}$ ${\displaystyle s>0}$ ${\displaystyle L_{loc}^{q,s}}$       ${\displaystyle C_{c}^{\infty }}$ פונקציות שוורץ פונקציות מתונות ${\displaystyle C^{\infty }}$       פונקציות נאש פונקציות אנליטיות ממשיות מקרא   מרחב פונקציות על אובייקט גאומטרי (למשל מרחב אוקלידי).[2]   מרחב הנתון על ידי תכונה מקומית של פונקציה.[3]   מרחב הילברט   מרחב בנך (שאינו מרחב הילברט)   מרחב פרשה (שאינו מרחב בנך)   מרחב דואלי לפרשה (שאינו מרחב בנך) מרחב גרעיני שיכון טבעי. מרחב המקור הוא תת-מרחב של מרחב היעד.[4] כל החצים השחורים מהווים יחד דיאגרמה קומוטטיבית.   דואליות דו צדדית. שני המרחבים דואליים זה לזה. דואליות. מרחב היעד דואלי למרחב המקור. בכל המיקרים הדואליות נתונה על ידי אינטגרציה ובהתאם קומפטבילית עם השיכונים.   התמרת פוריה דו צדדית. ההתמרה מעבירה את כל אחד מהמרחבים לשני.[5] התמרת פוריה. ההתמרה מעבירה את מרחב המקור למרחב היעד.[5] ${\displaystyle C}$ מרחב הפונקציות הרציפות. מוגדר עבור כל מרחב טופולוגי. ${\displaystyle C^{t}}$ מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות ${\displaystyle t}$ פעמים.[6] מוגדר עבור יריעות חלקות. ${\displaystyle L^{r}}$ מרחב Lr. פונקציות שחזקתם ה - ${\displaystyle r}$ אינטגרבילית. האובייקט הגאומטרי נדרש להיות מרחב מידה. ${\displaystyle L^{r,t}}$ מרחב סובולב. פונקציות שנגזרתם ה - ${\displaystyle t}$ נמצאת במרחב Lr.[6] האובייקט הגאומטרי נדרש להיות מרחב אוקלידי או אובייקט דומה. ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{c}}$ פונקציות נתמכות קומפקטית. עבור מרחב פונקציות ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ הסימון ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{c}}$ מתייחס לאוסף כל הפונקציות ב - ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ שהתומך שלהם קומפקטי.[7] ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{loc}}$ תכונה מקומית. עבור מרחב פונקציות ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ הסימון ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{c}}$ מתייחס לאוסף כל הפונקציות שבאופן מקומי מקיימות את התכונה המגדירה של ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$.[7] ${\displaystyle s}$ מספר ממשי חיובי ${\displaystyle p,q}$ מספרים ממשיים המקיימים: ${\displaystyle 1<p<2<q<\infty }$ ו - ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=2}$         פולינומים פונקציות שלמות         פונקציות רציונליות פונקציות מרומורפיות         פונקציות אלגבריות פונקציות אנליטיות רב ערכיות     ^ 1 2 על מנת לראות במרחב המדות במידות כמרחב פונצקציות יש לבחור מידה על האובייקט הגאומטרי. ^ ובאופן כללי יותר האובייקט הגיאמטרי יכול להיות: מרחב טופולוגי, יריעה חלקה, יריעה אנליטית (ממשית או מרוכבת), יריעה אלגברית, מרחב אוקלידי, מרחב l, מרחב מידה ועוד. חלק מהמרחבים מוגדרים רק עבור חלק מהאובייקטים הגאומטריים. רוב המרחבים דורשים לפחות מבנה של יריעה חלקה על האובייקט הגאומטרי. ^ המקומיות היא על פי הטופולוגיה על האובייקט הגאומטרי המתאים. לדוגמה, פונקציות שוורץ מוגדרות על יריעות אלגבריות ממשיות (או באופן כללי יותר יריעות נאש), לכן המקומיות היא על פי הטופולוגיה של זריצקי (או הטופולוגה המוגבלת על יריעות נאש). ^ השיכון מוגדר רק כאשר שני המרחבים מוגדרים. לדוגמה מרחב הפולינומים מוגדר עבור יריעה אלגברית ומרחב הפונקציות החלקות מוגדר עבור יריעה חלקה. מרחב הפולינומים מהווה תת-מרחב במרחב הפונקציות החלקות אם עבור יריעה אלגברית ממשית חלקה. ^ 1 2 רלוונטי רק כאשר האובייקט הגאומטרי הוא חבורה אבלית (בדרך כלל כאשר הוא מרחב אוקלידי) ^ 1 2 ניתן להגדיר מרחב זה עבור ${\displaystyle t}$ ממשי כלשהו, אולם אם ${\displaystyle t}$ אינו מספר טבעי אז ההגדרה מורכבת מעט יותר. ^ 1 2 המרחבים ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{loc}}$ ו - ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{c}}$ יכולים להית מוגדרים גם על אובייקטים שעליהם ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ לא מוגדר. די בכך שהאובייקטים יראו באופן מקומי כמו אלה שעליהם ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ מוגדר. לדוגמה ${\displaystyle L_{c}^{r,t}}$ מוגדר עבור כל יריעה חלקה.