בתורת החוגים, חוג הפולינומים מעל חוג נתון, הוא חוג המרחיב את החוג הנתון על ידי הוספת משתנה חופשי (בדרך כלל מתחלף) בלתי תלוי. בחוג זה נמצאים כל הפולינומים מכל הדרגות שמקדמיהם הם איברים של החוג הנתון. בהינתן חוג ${\displaystyle R}$, בדרך כלל מסמנים את חוג הפולינומים שלו ב-${\displaystyle R[x]}$. בין חוג לחוג הפולינומים שלו יש קשר הדוק, המהווה נושא בסיסי באלגברה מופשטת ובתורת החוגים.

חוג הפולינומים הוא כלי בסיסי בנושאים רבים במתמטיקה, בפרט באלגברה קומוטטיבית, גאומטריה אלגברית, תורת המספרים האלגברית ועוד.

יהי ${\displaystyle R}$ חוג חילופי נתון. ניתן להגדיר את חוג הפולינומים ${\displaystyle R[x]}$ בשתי הגדרות שקולות:

ההגדרה הטבעית והישירה לחוג זה היא הקבוצה שמכילה את כל הפולינומים במשתנה בלתי תלוי x: ${\displaystyle R[x]=\left\{{a}_{o}+{a}_{1}x+...+{a}_{n}{x}^{n}|n\in N;{a}_{0},..,{a}_{n}\in R\right\}}$.

• פעולת החיבור מוגדרת רכיב-רכיב, כלומר אם ${\displaystyle m\leq n}$ אזי ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{{a}_{i}{x}^{i}}+\sum _{i=0}^{m}{{b}_{i}{x}^{i}}=\sum _{i=0}^{m}{{({a}_{i}+b}_{i}){x}^{i}}+\sum _{i=m+1}^{n}{{a}_{i}{x}^{i}}}$.

כך למשל ${\displaystyle ({x}^{3}+2{x}^{2}+1)+({x}^{4}+3{x}^{2}+6)={x}^{4}+{x}^{3}+5{x}^{2}+7}$.

• פעולת הכפל מוגדרת על ידי היחסים ${\displaystyle ({a}_{i}{x}^{i})({b}_{j}{x}^{j})=({a}_{i}{b}_{j}){x}^{i+j}}$ וחוק הפילוג.

כך למשל ${\displaystyle (x+2)\cdot (2{x}^{2}+9)=2{x}^{3}+4{x}^{2}+9x+18}$.

• איבר האפס הוא הפולינום בו כל המקדמים הם האפס של החוג.

• אם לחוג המקורי יש איבר יחידה, אזי גם לחוג הפולינומים ישנה יחידה, והיא אותו הפולינום עבורו ${\displaystyle {a}_{0}=1,{a}_{1}={a}_{2}=...=0}$.

דרך הגדרה נוספת על ידי סדרות אינסופיות עם תומך סופי, של איברים מהחוג המקורי: ${\displaystyle R[x]=\left\{({a}_{o},{a}_{1},...,{a}_{n},0,0,....)|n\in N;{a}_{0},{a}_{1},...{a}_{n}\in R\right\}}$.

• פעולת החיבור - מתבצעת רכיב רכיב, כלומר: ${\displaystyle ({a}_{o},{a}_{1},...,{a}_{n},0,0,....)+({b}_{o},{b}_{1},...,{b}_{m},0,0,....)=({a}_{o}+{b}_{o},...)}$

• פעולת הכפל - נובעת מחוקי קונבולוציה, כלומר האיבר ה-${\displaystyle i}$ במכפלה ${\displaystyle ({a}_{o},{a}_{1},...,{a}_{n},0,0,....)\cdot ({b}_{o},{b}_{1},...,{b}_{m},0,0,....)}$ הוא ${\displaystyle \sum _{j=0}^{i}{{{a}_{j}b}_{i-j}}}$.

• איבר האפס הוא סדרת אפסים, כלומר ${\displaystyle (0,0,...)}$.

• אם לחוג המקורי יש איבר יחידה, אזי גם לחוג הפולינומים ישנה יחידה - ${\displaystyle (1,0,0...)}$.

בהינתן הגדרות אלו, ניתן להוכיח כי כל אחת מהקבוצות הנ"ל עם הפעולות המתאימות היא חוג.

ניתן להראות כי שתי ההגדרות הנ"ל שקולות, על ידי איזומורפיזם בין שני המבנים, הנתון על ידי ${\displaystyle ({a}_{o},{a}_{1},...,{a}_{n},0,0,....)\mapsto {a}_{o}+{a}_{1}x+...+{a}_{n}{x}^{n}}$.

בהינתן ההגדרות הנ"ל, נגדיר פונקציה מחוג הפולינומים לתוך המספרים הטבעיים, שתתאים לכל פולינום ${\displaystyle p(x)={a}_{o}+{a}_{1}x+...+{a}_{n}{x}^{n}}$ את המספר הטבעי המקסימלי עבורו ${\displaystyle {a}_{n}\neq 0}$, שיקרא הדרגה או המעלה של הפולינום, ונסמנו ${\displaystyle \deg(p(x))}$. לעיתים מבחינים את המקרה של פולינום האפס, ומגדירים ${\displaystyle \deg(0)=-\infty }$.

הדרגה מקיימת ${\displaystyle \deg(p(x)\cdot q(x))\leq \deg(p(x))+\deg(q(x))}$ לכל שני פולינומים שאינם אפס, ושוויון מתקיים בתחום שלמות.

כעת נציג את הקשר בין חוג נתון לחוג הפולינומים שלו.

• אם ${\displaystyle S}$ תת חוג של ${\displaystyle R}$, אזי גם ${\displaystyle S[x]}$ תת-חוג של ${\displaystyle R[x]}$.
• חוג הוא תחום שלמות אם ורק אם חוג הפולינומים שלו הוא תחום שלמות.
• ${\displaystyle R[x]}$ איננו שדה באף מקרה, שכן ${\displaystyle x}$ אינו הפיך.
• חבורת ההפיכים של ${\displaystyle R[x]}$ מכילה את חבורת ההפיכים של ${\displaystyle R}$, ושווה לו במקרה ש-${\displaystyle R}$ תחום (עם זאת, בחוג ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}[x]}$ האיבר ${\displaystyle 1+2x}$ הופכי לעצמו).
• כמסקנה מהלמה של גאוס, חוג הוא תחום פריקות יחידה אם ורק אם חוג הפולינומים שלו הוא תחום פריקות יחידה.
• אם ${\displaystyle R}$ הוא חוג חילופי עם איבר יחידה, ${\displaystyle R}$ הוא שדה אם ורק אם ${\displaystyle R[x]}$ תחום ראשי ואם ורק אם ${\displaystyle R[x]}$ הוא תחום אוקלידי.
• לפי משפט הבסיס של הילברט, חוג הוא נתרי אם ורק אם חוג הפולינומים שלו נתרי.

חלק מהתוצאות ניתן להכליל לחוגים במספר משתנים (ראו בהמשך).

נאמר כי פולינום ${\displaystyle p(x)}$ הוא פריק אם קיימים פולינומים ${\displaystyle a(x),b(x)}$ לא הפיכים כך ש-${\displaystyle p(x)=a(x)b(x)}$. אחרת, נאמר כי הפולינום הוא אי-פריק. פריקות פולינומים היא מנושאי היסוד של תורת החוגים ונושא זה בפרט. נציין מספר תכונות:

• בתחום שלמות, הפירוק היחיד האפשרי לפולינום מהצורה ${\displaystyle {x}^{n}}$ הוא מהצורה ${\displaystyle {x}^{n}=(a{x}^{t})\cdot (b{x}^{s})}$ כאשר ${\displaystyle ab=1}$ וכן ${\displaystyle s+t=n}$.
• פולינום פרימיטיבי הוא פריק מעל תחום פריקות יחידה אם ורק אם הוא פריק מעל שדה השברים שלו.
• קריטריון אייזנשטיין מספק מבחן לפריקות של פולינום ${\displaystyle p(x)={a}_{o}+{a}_{1}x+...+{a}_{n}{x}^{n}}$- אם ${\displaystyle R}$ תחום שלמות ו-${\displaystyle I}$ אידיאל ראשוני, אזי אם ${\displaystyle {a}_{o},{a}_{1},...,{a}_{n-1}\in I,{a}_{o}\notin {I}^{2},{a}_{n}\notin I}$, אז הפולינום אי-פריק.
• בתחום שלמות, פולינום ${\displaystyle p(x)}$ הוא אי-פריק ב-${\displaystyle R[x]}$, אם ורק אם חוג המנה ${\displaystyle R[x]/\langle p(x)\rangle }$ הוא שדה.

בהינתן פולינום ${\displaystyle p(x)={a}_{o}+{a}_{1}x+...+{a}_{n}{x}^{n}}$ מתוך חוג פולינומים, נאמר כי איבר ${\displaystyle r\in R}$ הוא שורש של הפולינום, אם ${\displaystyle p(r)=0}$. איבר ${\displaystyle r\in R}$ הוא שורש של פולינום אם ורק אם הפולינום ${\displaystyle x-r}$ מחלק את ${\displaystyle p(x)}$. בפרט, במקרה זה הפולינום הוא ודאי פריק. נובע כי פולינום מדרגה 2 או 3 הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש.

טענה שימושית בדבר קיומו של שורש לפולינום מעל חוג המספרים השלמים ושדה שברים שלו (המספרים הרציונליים) היא כלהלן - אם ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\in \mathbb {Q} }$ שורש של פולינום, אזי ${\displaystyle a|{a}_{0},b|{a}_{n}}$.בפרט, כל שורש שלם של פולינום מתוקן מחלק את המקדם החופשי שלו.

ניתן להרחיב חוג פולינום, ולקבל מבנה עשיר יותר בכמה דרכים.

בהינתן חוג כלשהו, כבר ראינו איך מוסיפים לו משתנה אחד. לחוג החדש שהתקבל, אפשר להוסיף עוד משתנה, וחוזר חלילה. כלומר, ניתן ליצור חוגים בכמה משתנים בלתי תלויים. מספר המשתנים יכול להיות סופי ואינסופי. למשל, חוג פולינומים בשני משתנים מסומנים בדרך כלל ב-${\displaystyle R[x,y]:=R[x][y]}$.

נקודה מעניינת היא הישמרות התכונות מהחוג המקורי ועד לכל חוג פולינום במספר משתנים. מהתכונות לעיל, ניתן להסיק כי חוג הוא תחום שלמות/תחום פריקות יחידה/נותרי אם ורק אם חוג הפולינומים שלו במספר סופי של משתנים בלתי תלויים הוא מקיים את התכונה בהתאמה.

עם זאת, חוג פולינומים ביותר משני משתנים לעולם לא חוג אוקלידי ולא תחום ראשי, שכן חוג הפולינומים במשתנה אחד פחות (כלומר לפחות במשתנה אחד) איננו שדה.

בהגדרה השנייה של חוג פולינומים דובר על סדרות עם תומך סופי, כלומר הפולינומים הם סופיים בלבד. אם נשמיט דרישה זו, נקבל את חוג טורי החזקות מעל חוג נתון, שמסומן בדרך כלל על ידי:

${\displaystyle R[[x]]=\left\{\sum _{i=0}^{\infty }{{a}_{i}{x}^{i}}|{a}_{i}\in R\right\}}$

בחוג זה ישנו עולם עשיר יותר של איברים הפיכים - כך למשל ${\displaystyle 1-x}$ הפיך וההפכי שלו הוא ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{{x}^{i}}}$. באופן כללי, כל איבר בעל מקדם חופשי הפיך הוא הפיך.

בפרט, אם ${\displaystyle R=\mathbb {F} }$ שדה, כל איבר עם מקדם חופשי הוא הפיך, ולכן האידיאלים של החוג ${\displaystyle \mathbb {F} [[x]]}$ הם ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} :\langle x^{k}\rangle }$ בלבד, ובפרט הוא תחום ראשי.

חוג זה מכליל אף את חוגי טורי טיילור שהוצג לעיל, ומאפשר לכלול טורים עם חזקות שליליות, כלומר מהצורה ${\displaystyle \sum _{i=-n}^{\infty }{{a}_{i}{x}^{i}}}$. נהוג לסמן חוג זה על ידי:

${\displaystyle R((x))=\left\{\sum _{i=-n}^{\infty }{{a}_{i}{x}^{i}}|n\in \mathbb {N} ,\ {a}_{i}\in R\right\}}$

במבנה זה ניתן להגדיר פונקציה דומה לפונקציה הדרגה שהוגדרה לעיל, על ידי ${\displaystyle {\widetilde {\deg }}\left(\sum _{i=-n}^{\infty }{{a}_{i}{x}^{i}}\right)=-n}$, כלומר זהו האיבר בעל החזקה הנמוכה ביותר שעבורו המקדם אינו אפס. פונקציה זו מקיימת תכונות דומות לאלו של הדרגה.

התכונה החשובה של חוג זה היא, שבהינתן שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$, אזי ${\displaystyle \mathbb {F} ((x))}$ אף הוא שדה. כלומר, זהו שדה שמכיל את חוג הפולינומים.

בהינתן תחום שלמות ${\displaystyle R}$, גם חוג הפולינומים שלו במספר סופי של משתנים הוא תחום שלמות. לכן, בהתאם לבנייה של שדה שברים של תחום שלמות, שדה השברים של חוג הפולינומים הוא

${\displaystyle R({x}_{1},...,{x}_{n})=\left\{{\frac {p({x}_{1},...,{x}_{n})}{q({x}_{1},...,{x}_{n})}}:p,q\in R[{x}_{1},...,{x}_{n}],q(x)\neq 0\right\}}$

לשדה זה קוראים שדה הפונקציות הרציונליות ב-${\displaystyle n}$ משתנים.

לחוגי מנה של חוגי פולינומים יש חשיבות רבה.

במשתנה אחד, כאמור, תחום שלמות הוא שדה אם ורק אם חוג הפולינומים שלו הוא תחום ראשי. במקרה זה, כל חוג מנה מקבל את הצורה ${\displaystyle R[x]/\langle p(x)\rangle }$. חוג זה הוא שדה אם ורק אם הפולינום ${\displaystyle p}$ היוצר את האידיאל הוא אי-פריק. כך אפשר לייצר את השדות סופיים מכל סדר (שהוא חזקת ראשוני) -- אם בוחרים ${\displaystyle R=\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle }$ שדה השאריות מודולו p, מספיק למצוא פולינום אי-פריק מסדר מסוים k, ואז חוג המנה יהיה שדה מסדר ${\displaystyle p^{k}}$. פולינום כזה אכן קיים לכל ראשוני ולכל סדר שהוא.

בנוסף, חוגי מנה כנ"ל מהווים הרחבת שדות בה לפולינום יש שורש, והוא ${\displaystyle x+\langle f(x)\rangle }$.

באופן כללי יותר, חוגי פולינומים במספר סופי של משתנים מעל חוג נתון הם אלגבראות. יותר מכך, חוגי המנה שלהם כוללים את אוסף כל האלגבראות האפיניות -- בהינתן אלגברה אפינית ${\displaystyle R[a_{1},..,a_{n}]}$, ההעתקה q שנתונה על ידי ${\displaystyle x_{i}\mapsto a_{i}}$ היא אפימורפיזם מחוג הפולינומים ב-n משתנים לאלגברה, ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ${\displaystyle R[x_{1},..,x_{n}]/\ker(q)\cong R[a_{1},..,a_{n}]}$.

למבנה אלגברת הפולינומים יש תפקיד מכריע באלגברה קומוטטיבית ובגאומטריה אלגברית.

כאמור, כל אלגברה אפינית היא מנה של אלגברת פולינומים. יתר על כן, כל אלגברה אפינית מכילה תת-אלגברת פולינומים מעליה היא מהווה מודול נוצר סופית. אכן, לפי משפט הנורמליזציה של נתר, בכל אלגברה אפינית ${\displaystyle R=\mathbb {F} [a_{1},...,a_{n}]}$, ניתן לחלץ איברים ${\displaystyle b_{1},...,b_{d},...,b_{n}}$ כך שהאיברים ${\displaystyle b_{1},...,b_{d}}$ מהווים בסיס טרנסצנדנטי, ו-${\displaystyle R=\mathbb {F} [b_{1},...,b_{n}]}$ שלם מעל ${\displaystyle C=\mathbb {F} [b_{1},..,b_{d}]}$, שהיא למעשה אלגברת פולינומים ב-${\displaystyle d}$ משתנים.

אם כן, מתכונות של אלגברות פולינומים ניתן להסיק תכונות של אלגברות אפיניות. כך למשל, ניתן להוכיח שכל אידיאל מקסימלי באלגברה אפינית הוא בעל גובה כדרגת הטרנסצנדנטיות ${\displaystyle d}$. ניתן גם להוכיח בעזרת ההבחנה הנ"ל שלכל אלגברה אפינית דרגת הטרנסצנדנטיות שווה לממד קרול שלה. לכן, הממד של יריעה אלגברית אפינית שווה לדרגת הטרנסצנדנטיות של חוג הקורדינאטות שלה.

כל האוטומורפיזמים של חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל שדה הם אפיניים. חבורת האוטומורפיזמים של חוג הפולינומים בשני משתנים היא מכפלת היתוך של האוטומורפיזמים האפיניים והאוטומורפיזמים השומרים על אחד המשתנים (החבורה נוצרת על ידי אוטומורפיזם ההחלפה, והאוטומורפיזמים השומרים על משתנה מסוים; ההוכחה במאפיין אפס ניתנה על ידי Jung, ומעל שדה כללי על ידי Van der Kulk). חבורת האוטומורפיזמים בשלושה משתנים או יותר כוללת גם אוטומורפיזמים "פרועים" (Anick conjecture).

ראו גם השערת היעקוביאן והשערת דיקסמייר [1] (ידוע שהשערת דיקסמייר על אלגברת וייל ${\displaystyle A_{n}}$ גוררת את השערת היעקוביאן ב-n משתנים, ונובעת מההשערה ב-2n משתנים).

חבורת האוטומורפיזמים של חוג הפולינומים קרובה לזו של האלגברה החופשית באותו מספר של משתנים. בעניין זה הוכיח Dicks שההתאמה x,y-->f,g מגדירה אוטומורפיזם של האלגברה החופשית בשני המשתנים x,y אם ורק אם [f,g] הוא כפולה בסקלר של [x,y].

• פולינום
• הלמה של גאוס (פולינומים)
• משפט הבסיס של הילברט
• פירוק ריט על פולינומים ביחס לפעולת ההרכבה.

• חוג פולינומים, באתר MathWorld (באנגלית)