במתמטיקה, ובמיוחד אלגברה קומוטטיבית, משפט הנורמליזציה של נתר הוא תוצאה טכנית חשובה שהוכיחה אמי נתר.

המשפט קובע שכל תחום שלמות שהוא אלגברה נוצרת סופית מעל שדה ${\displaystyle K}$, הוא הרחבה שלמה של חוג פולינומים. כלומר, קיימים באלגברה איברים בלתי תלויים אלגברית ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{d}\in A}$ כך שכל איבר ${\displaystyle a\in A}$ מאפס פולינום מתוקן עם מקדמים ב-${\displaystyle B=K[y_{1},\dots ,y_{d}]}$.

מקרה פרטי של המשפט הוא הניסוח הבא:

יהי ${\displaystyle K}$ שדה אינסופי ו-${\displaystyle A=K[a_{1},...,a_{n}]}$ אלגברה נוצרת סופית מעל ${\displaystyle K}$. אזי קיימים ${\displaystyle y_{1},...,y_{m}}$ כאשר ${\displaystyle m\leq n}$ כך ש-${\displaystyle y_{1},...,y_{m}}$ בלתי-תלויים אלגברית ו-${\displaystyle A}$ היא מודול נוצר סופית מעל ${\displaystyle B=K[y_{1},...,y_{m}]}$, כלומר: קיימים ${\displaystyle x_{1},...,x_{\ell }}$ (עם ${\displaystyle \ell \in \mathbb {N} }$ סופי) כך ש-${\displaystyle A=Bx_{1}+...+Bx_{\ell }}$.

משפט הנורמליזציה של נתר נחשב למשפט בסיסי באלגברה קומוטטיבית, ויש לו שימושים רבים להוכחות משפטים בסיסיים בתחום.

• למת זריצקי - שדה אפיני הוא אלגברי. כלומר, אם ${\displaystyle R=K[a_{1},...,a_{n}]}$ אלגברה אפינית ושדה, אז ${\displaystyle [R:K]<\infty }$.

מספר מסקנות מלמת זריצקי:

- שדה אפיני מעל שדה סגור אלגברית הוא רק השדה עצמו.

- אם ${\displaystyle H\subseteq R}$ תת-אלגברה כלשהי, ו-${\displaystyle P}$ אידיאל מקסימלי, אז ${\displaystyle P\cap H}$ אידיאל מקסימלי של ${\displaystyle H}$.

- כל אידיאל מקסימלי של שדה סגור אלגברית הוא מהצורה ${\displaystyle \langle \lambda _{1}-a_{1},...,\lambda _{n}-a_{n}\rangle }$. משפט זה מהווה התאמה בין נקודות של מרחב אפיני ואידיאלים מקסימליים, ומהווה משפט בסיסי בגאומטריה אלגברית.

• דרגת הטרנסצנדנטיות של כל אלגברה אפינית (תחום שלמות) שווה לממד קרול שלה.

במונחים גאומטריים, ${\displaystyle B}$ הוא חוג הקואורדינטות של המרחב האפיני ${\displaystyle K^{d}}$, ${\displaystyle A}$ הוא חוג הקואורדינטות של יריעה אלגברית כלשהי (שחייבת להיות מאותו ממד כמו ${\displaystyle B}$). מכיוון ש-${\displaystyle \,B\subseteq A}$, הרי שקיים הומומורפיזם הכלה:

${\displaystyle \phi :B\rightarrow A}$, ${\displaystyle \phi (x)=x}$

המורפיזם המושרה על הסכמות האפיניות הוא מורפיזם סופי: ${\displaystyle \phi :Spec(A)\rightarrow Spec(B)}$ .

המסקנה היא שכל יריעה אלגברית היא כיסוי מסועף של מרחב אפיני.