PROFILPELAJAR.COM

במתמטיקה, מספר טרנסצנדנטי הוא מספר שאינו מאפס אף פולינום בעל מקדמים רציונליים. מספרים טרנסצנדנטיים נודעים הם הקבועים המתמטיים π ו-e (ראו טרנסצנדנטיות של פאי). כל מספר טרנסצנדנטי הוא מספר אי-רציונלי, אך ההפך אינו נכון: ${\sqrt {2}}$ , למשל, הוא מספר אי-רציונלי שאינו מספר טרנסצנדנטי, שכן הוא פתרון למשוואה הפולינומית $x^{2}-2=0$ . למונח הוצע גם השם העברי מספר נעלה. מספר שאינו טרנסצנדנטי נקרא אלגברי.

במבט ראשון נראים המספרים הטרנסצנדנטיים כחריגים, וברור שאין אנו מרבים לפגוש אותם בחיי היומיום, אך ניתן להוכיח שכמעט כל המספרים הם טרנסצנדנטיים. תכונה זו הוכחה בשנת 1874 על ידי גאורג קנטור, שהראה שעוצמת קבוצת המספרים האלגבריים היא $\aleph _{0}$ (קרי: אָלֶף אֶפֶס), בעוד שעוצמת קבוצת המספרים הטרנסצנדנטיים היא $\aleph =2^{\aleph _{0}}$ .

ההוכחה שמספר נתון כלשהו הוא מספר טרנסצנדנטי איננה פשוטה. קיומם של מספרים טרנסצנדנטיים הוכח לראשונה בשנת 1844 על ידי המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ליוביל והתוצאה קרויה על שמו משפט ליוביל. על סמך המשפט נתן ליוביל בשנת 1851 דוגמה ראשונה למספר טרנסצנדנטי הנקרא קבוע ליוביל:

\sum _{k\,=\,1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots

במספר ליוביל הספרה ה-n מימין לנקודה העשרונית היא 1 כאשר n הוא עצרת, ו-0 אחרת (ראו קירובים רציונליים, להלן). המספר הראשון שהוכח שהוא מספר טרנסצנדנטי, מבלי שהמספר נבנה מלכתחילה למטרה זו, הוא הקבוע המתמטי e. את ההוכחה סיפק שארל הרמיט בשנת 1873 (ראו טרנסצנדנטיות של e).

בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן שקובע, בין השאר, ש־ $\ \pi$ (פאי) הוא מספר טרנסצנדנטי. מהוכחה זו נובע שלא ניתן לבנות בסרגל ובמחוגה ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון, משום שלא ניתן לבנות עמם יחס טרנסצנדנטי. הוכחה זו פתרה את בעיית ריבוע העיגול, שהיא אחת מהבעיות הגאומטריות של ימי קדם, שראשיתן ביוון העתיקה.

הילברט ובעיית המספר הטרנסצנדנטי

ערך מורחב – הבעיה השביעית של הילברט

הבעיה השביעית ב-23 הבעיות של הילברט ביקשה תשובה לשאלה: האם $\ a^{b}$ טרנסצנדנטי, כאשר $a\neq 0,1$ אלגברי ו- $b$ אלגברי אי-רציונלי? הבעיה הוצגה על ידי הילברט בשנת 1900, ותשובה חיובית לה ניתנה בשנת 1934 על ידי אלכסנדר גלפונד, במשפט הידוע בשם משפט גלפונד-שניידר.

קירובים רציונליים

סדרה של שברים ${\frac {n_{i}}{m_{i}}}$ מהווה "סדרת קירובים רציונליים מסדר $\,t$ " של המספר הממשי $\,a$ , אם סדרת המכנים $\,m_{i}$ עולה, ו- $\left|a-{\frac {n_{i}}{m_{i}}}\right|<{\frac {x}{m_{i}^{t}}}$ כאשר $\,x>0$ קבוע.

את הטרנסצנדנטיות של מספר ליוביל אפשר להוכיח בעזרת משפט ליוביל: מספר אלגברי מדרגה d (כלומר, מספר המהווה שורש לפולינום ממעלה d בעל מקדמים רציונליים) אינו ניתן לקירוב מסדר גבוה מ-d; מכיוון שכך, מספר שיש לו סדרת קירובים רציונליים מכל סדר, מוכרח להיות טרנסצנדנטי (מספר כזה נקרא מספר ליוביל).