בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p-אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני ${\displaystyle p}$, שהוא סופי בצד החזקות השליליות ${\displaystyle p^{-N}}$, ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר ${\displaystyle p}$, וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.

במספר p-אדי, שצורתו הכללית

${\displaystyle a_{-N}p^{-N}+\cdots +a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$

עשויים המקדמים ${\displaystyle a_{-N},\ldots ,a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$ להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq p-1}$, והצגה זו היא יחידה. על כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים.

מבין מספרים ה-p-אדיים, השלמים ה-p-אדיים הם הביטויים ${\displaystyle a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$, שבהם אין חזקות שליליות של ${\displaystyle p}$.

בין מספרים ה-p-אדיים ${\displaystyle a,b}$ מגדירים מרחק לפי חזקת ${\displaystyle p}$ הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש – ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר.

באופן פורמלי, אם ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$ אזי ${\displaystyle |a|_{p}=p^{-k}}$, כאשר ${\displaystyle k=\min\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\neq 0\}}$. כמו כן מגדירים ${\displaystyle |0|_{p}=0}$. המטריקה היא ${\displaystyle d(a,b)=|a-b|_{p}}$.

תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים ${\displaystyle a_{n}p^{n}}$ הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה ${\displaystyle 1,p,p^{2},\ldots }$ שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה ${\displaystyle 1,p^{-1},p^{-2},\ldots }$ היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.

לפי ההגדרה, המקדמים ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq p-1}$ בהצגה כטור חזקות הם חיוביים, ולכאורה אי אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדיים. אך ההפך הוא הנכון.

לדוגמה: יהי ${\displaystyle p=3}$ ונתבונן במספר

${\displaystyle \ldots 222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^{2}+\cdots }$

נחבר לו את המספר 1, ונקבל

${\displaystyle {\begin{array}{r}\ldots {\stackrel {1}{2}}{\stackrel {1}{2}}{\stackrel {}{2}}\\^{+}\ldots 001\\\hline \ldots 000\end{array}}}$

שכן ${\displaystyle 1+2=3}$ ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם ${\displaystyle 1+2=3}$ ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים:

${\displaystyle \ldots 222+1=0}$

ולכן ${\displaystyle -1=\,\ldots 222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^{2}+\cdots }$

במקרה הכללי מתקיים כי ${\displaystyle -1=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }(p-1)p^{n}}$. אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של ${\displaystyle p=3}$ אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של ${\displaystyle p}$ מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן ${\displaystyle a_{0}=p-1,q=p}$ ולכן

${\displaystyle S={\frac {a_{0}}{1-q}}={\frac {p-1}{1-p}}=-1}$

כעת, כל מספר שלילי ${\displaystyle m}$ ניתן להציג כמכפלה של ההצגה ה-p-אדית של ${\displaystyle |m|}$ בהצגה ה-p-אדית של ${\displaystyle -1}$.

כל מספר רציונלי ניתן להציג באופן יחיד בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים,

${\displaystyle {\frac {2}{3}}=4+1\cdot 5+3\cdot 5^{2}+1\cdot 5^{3}+3\cdot 5^{4}+\cdots }$

אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור ${\displaystyle S=1+5^{2}+5^{4}+5^{6}+\cdots }$ מתכנס, וסכומו על פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים ${\displaystyle S={\frac {1}{1-5^{2}}}=-{\frac {1}{24}}}$. לכן הסכום לעיל מתכנס ל- ${\displaystyle 4+5\cdot S+3\cdot 5^{2}\cdot S=4-{\frac {80}{24}}={\frac {2}{3}}}$.

השבר המצומצם ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ הוא שלם p-אדי, אם ורק אם ${\displaystyle p}$ אינו מחלק את המכנה ${\displaystyle b}$. למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל,

${\displaystyle {\sqrt {7}}=1+3+3^{2}+2\cdot 3^{4}+2\cdot 3^{7}+3^{8}+\cdots }$

(ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר ${\displaystyle p\neq 2}$, ו-${\displaystyle a}$ הוא מספר שלם זר ל-${\displaystyle p}$ ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל-${\displaystyle a}$ שורש p-אדי אם ורק אם ${\displaystyle a}$ הוא שארית ריבועית מודולו ${\displaystyle p}$. בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מאחר שלמספר השלילי ${\displaystyle 1-p^{3}}$ תמיד יש שורש p-אדי.

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:

${\displaystyle x=(\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})=(x_{n})_{n=1}^{\infty }}$

כך שלכל ${\displaystyle n\geq 1}$ מתקיים ${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו ${\displaystyle p}$). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:

• הם מקיימים ${\displaystyle \forall n\leq m:x_{n}=x_{m}\ {\text{mod}}\ p^{n}}$
• או באופן שקול, המעבר מ-${\displaystyle x_{n}}$ ל-${\displaystyle x_{n-1}}$ נעשה על ידי ${\displaystyle x+p^{n}\mapsto x+p^{n-1}}$.

נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור ${\displaystyle p}$ ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:

• חיבור: ${\displaystyle x+y=(\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})+(\ldots ,y_{n},\ldots ,y_{1})=(\ldots ,x_{n}+y_{n},\ldots ,x_{1}+y_{1})}$
• כפל: ${\displaystyle x\cdot y=(\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})\cdot (\ldots ,y_{n},\ldots ,y_{1})=(\ldots ,x_{n}y_{n},\ldots ,x_{1}y_{1})}$

למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: ${\displaystyle x_{n}+y_{n},x_{n}\cdot y_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$).
זהו חוג עם אפס ${\displaystyle 0=(\ldots ,0,0,0)}$ ויחידה ${\displaystyle 1=(\ldots ,1,1,1)}$. יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.

גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.

נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:

${\displaystyle (\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$

כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:

${\displaystyle x_{n+1}=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}}$

בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}a_{0}&=&x_{1}\\a_{1}&=&{\dfrac {x_{2}-x_{1}}{p}}\\a_{2}&=&{\dfrac {x_{3}-x_{2}}{p^{2}}}\\a_{3}&=&{\dfrac {x_{4}-x_{3}}{p^{3}}}\\&\vdots &\\a_{n}&=&{\dfrac {x_{n+1}-x_{n}}{p^{n}}}\\&\vdots &\end{array}}}$

או בנוסחה מפורשת:

${\displaystyle a_{n}={\frac {x_{n+1}-x_{n}}{p^{n}}}=x_{n+1}\ {\text{div}}\ p^{n}}$

כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל ${\displaystyle 8\ {\text{div}}\ 3=(2+3\cdot 2)\ {\text{div}}\ 3=2}$).

קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הנקרא שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p-אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח כי למשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעיתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר ${\displaystyle p^{n}}$. אוסף ההעתקות הרציפות מ-${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} =\cup _{n\,=\,1}^{\infty }p^{-n}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$.

• שדה המספרים ה-p-אדיים

• מספר p-אדי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• אלכסנדר לובוצקי, שימושים ממשיים למספרים לא ממשיים, איגרת 37, דצמבר 2015
• אנדרו בייקר, הרצאות בקורס על מבוא למספרים p-אדים, אוניברסיטת גלאזגו, סקוטלנד, 2011
• מספר p-אדי, באתר MathWorld (באנגלית)

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]}$ • חוג השלמים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Z} }}}$ • חוג השלמים של אייזנשטיין ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]}$
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Q} }}}$ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון ${\displaystyle \ {\mathbb {H} }}$) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי ${\displaystyle \ {\mathbb {O} }}$) • אלגברות קיילי-דיקסון